Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48716 / 50896
↖ ↑ ↗
← S 70.050596°
E 87.604980°		 ← 208.39 m → S 70.050596°
E 87.610473°		 →
↑
208.40 m
↓
↑
208.40 m
↓
S 70.052471°
E 87.604980°		 ← 208.38 m →
43 427 m²		 S 70.052471°
E 87.610473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743354797363281 y=0.776618957519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743354797363281 × 216)
    floor (0.743354797363281 × 65536)
    floor (48716.5)     		tx = 48716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776618957519531 × 216)
    floor (0.776618957519531 × 65536)
    floor (50896.5)     		ty = 50896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48716 / 50896 ti = "16/48716/50896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48716/50896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48716 ÷ 216
    48716 ÷ 65536     		x = 0.74334716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50896 ÷ 216
    50896 ÷ 65536     		y = 0.776611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74334716796875 × 2 - 1) × π
    0.4866943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52899535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.55322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73800023262476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52899535} λ = 1.52899535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73800023262476))-π/2
    2×atan(0.175871751781048)-π/2
    2×0.174091388759433-π/2
    0.348182777518866-1.57079632675     		φ = -1.22261355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52899535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.604980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22261355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.050596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48716 KachelY 50896 1.52899535 -1.22261355 87.604980 -70.050596
    Oben rechts KachelX + 1 48717 KachelY 50896 1.52909122 -1.22261355 87.610473 -70.050596
    Unten links KachelX 48716 KachelY + 1 50897 1.52899535 -1.22264626 87.604980 -70.052471
    Unten rechts KachelX + 1 48717 KachelY + 1 50897 1.52909122 -1.22264626 87.610473 -70.052471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22261355--1.22264626) × R
    3.27100000001579e-05 × 6371000     		dl = 208.395410001006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22261355--1.22264626) × R
    3.27100000001579e-05 × 6371000     		dr = 208.395410001006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52899535-1.52909122) × cos(-1.22261355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341190192327367 × 6371000     		do = 208.394796717499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52899535-1.52909122) × cos(-1.22264626) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341159444931838 × 6371000     		du = 208.37601658435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22261355)-sin(-1.22264626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341190192327367-0.341159444931838)×R²
    abs(1.52909122-1.52899535)×3.07473955289961e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07473955289961e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07473955289961e-05×40589641000000     		ar = 43426.5622607986m²