Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48715 / 50895
↖ ↑ ↗
← S 70.048722°
E 87.599488°		 ← 208.41 m → S 70.048722°
E 87.604980°		 →
↑
208.40 m
↓
↑
208.40 m
↓
S 70.050596°
E 87.599488°		 ← 208.39 m →
43 430 m²		 S 70.050596°
E 87.604980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743339538574219 y=0.776603698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743339538574219 × 216)
    floor (0.743339538574219 × 65536)
    floor (48715.5)     		tx = 48715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776603698730469 × 216)
    floor (0.776603698730469 × 65536)
    floor (50895.5)     		ty = 50895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48715 / 50895 ti = "16/48715/50895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48715/50895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48715 ÷ 216
    48715 ÷ 65536     		x = 0.743331909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50895 ÷ 216
    50895 ÷ 65536     		y = 0.776596069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.743331909179688 × 2 - 1) × π
    0.486663818359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52889948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776596069335938 × 2 - 1) × π
    -0.553192138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73790435882552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52889948} λ = 1.52889948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73790435882552))-π/2
    2×atan(0.175888614082384)-π/2
    2×0.174107745096476-π/2
    0.348215490192951-1.57079632675     		φ = -1.22258084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52889948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.599488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22258084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.048722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48715 KachelY 50895 1.52889948 -1.22258084 87.599488 -70.048722
    Oben rechts KachelX + 1 48716 KachelY 50895 1.52899535 -1.22258084 87.604980 -70.048722
    Unten links KachelX 48715 KachelY + 1 50896 1.52889948 -1.22261355 87.599488 -70.050596
    Unten rechts KachelX + 1 48716 KachelY + 1 50896 1.52899535 -1.22261355 87.604980 -70.050596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22258084--1.22261355) × R
    3.27099999999358e-05 × 6371000     		dl = 208.395409999591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22258084--1.22261355) × R
    3.27099999999358e-05 × 6371000     		dr = 208.395409999591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52889948-1.52899535) × cos(-1.22258084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341220939357841 × 6371000     		do = 208.413576627676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52889948-1.52899535) × cos(-1.22261355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341190192327367 × 6371000     		du = 208.394796717499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22258084)-sin(-1.22261355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341220939357841-0.341190192327367)×R²
    abs(1.52899535-1.52889948)×3.07470304743984e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07470304743984e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07470304743984e-05×40589641000000     		ar = 43430.4759312755m²