Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48714 / 81168
↖ ↑ ↗
← S 39.402245°
W 46.203003°		 ← 236.01 m → S 39.402245°
W 46.200256°		 →
↑
235.98 m
↓
↑
235.98 m
↓
S 39.404367°
W 46.203003°		 ← 236 m →
55 692 m²		 S 39.404367°
W 46.200256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371662139892578 y=0.619266510009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371662139892578 × 217)
    floor (0.371662139892578 × 131072)
    floor (48714.5)     		tx = 48714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619266510009766 × 217)
    floor (0.619266510009766 × 131072)
    floor (81168.5)     		ty = 81168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48714 / 81168 ti = "17/48714/81168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48714/81168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48714 ÷ 217
    48714 ÷ 131072     		x = 0.371658325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81168 ÷ 217
    81168 ÷ 131072     		y = 0.6192626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371658325195312 × 2 - 1) × π
    -0.256683349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80639453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6192626953125 × 2 - 1) × π
    -0.238525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.749349614860718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80639453} λ = -0.80639453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.749349614860718))-π/2
    2×atan(0.472673872854596)-π/2
    2×0.441548715199018-π/2
    0.883097430398037-1.57079632675     		φ = -0.68769890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80639453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.203003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68769890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.402245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48714 KachelY 81168 -0.80639453 -0.68769890 -46.203003 -39.402245
    Oben rechts KachelX + 1 48715 KachelY 81168 -0.80634659 -0.68769890 -46.200256 -39.402245
    Unten links KachelX 48714 KachelY + 1 81169 -0.80639453 -0.68773594 -46.203003 -39.404367
    Unten rechts KachelX + 1 48715 KachelY + 1 81169 -0.80634659 -0.68773594 -46.200256 -39.404367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68769890--0.68773594) × R
    3.70400000000437e-05 × 6371000     		dl = 235.981840000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68769890--0.68773594) × R
    3.70400000000437e-05 × 6371000     		dr = 235.981840000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80639453--0.80634659) × cos(-0.68769890) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.772708707517946 × 6371000     		do = 236.005128798504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80639453--0.80634659) × cos(-0.68773594) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.772685195448436 × 6371000     		du = 235.997947607275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68769890)-sin(-0.68773594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772708707517946-0.772685195448436)×R²
    abs(-0.80634659--0.80639453)×2.35120695096791e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35120695096791e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35120695096791e-05×40589641000000     		ar = 55692.0772343854m²