Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48712 / 81226
↖ ↑ ↗
← S 39.525229°
W 46.208496°		 ← 235.59 m → S 39.525229°
W 46.205749°		 →
↑
235.60 m
↓
↑
235.60 m
↓
S 39.527348°
W 46.208496°		 ← 235.58 m →
55 504 m²		 S 39.527348°
W 46.205749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371646881103516 y=0.619709014892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371646881103516 × 217)
    floor (0.371646881103516 × 131072)
    floor (48712.5)     		tx = 48712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619709014892578 × 217)
    floor (0.619709014892578 × 131072)
    floor (81226.5)     		ty = 81226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48712 / 81226 ti = "17/48712/81226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48712/81226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48712 ÷ 217
    48712 ÷ 131072     		x = 0.37164306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81226 ÷ 217
    81226 ÷ 131072     		y = 0.619705200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37164306640625 × 2 - 1) × π
    -0.2567138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80649040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619705200195312 × 2 - 1) × π
    -0.239410400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.752129955038681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80649040} λ = -0.80649040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752129955038681))-π/2
    2×atan(0.471361503956229)-π/2
    2×0.440475466828649-π/2
    0.880950933657298-1.57079632675     		φ = -0.68984539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80649040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.208496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68984539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.525229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48712 KachelY 81226 -0.80649040 -0.68984539 -46.208496 -39.525229
    Oben rechts KachelX + 1 48713 KachelY 81226 -0.80644246 -0.68984539 -46.205749 -39.525229
    Unten links KachelX 48712 KachelY + 1 81227 -0.80649040 -0.68988237 -46.208496 -39.527348
    Unten rechts KachelX + 1 48713 KachelY + 1 81227 -0.80644246 -0.68988237 -46.205749 -39.527348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68984539--0.68988237) × R
    3.69799999999643e-05 × 6371000     		dl = 235.599579999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68984539--0.68988237) × R
    3.69799999999643e-05 × 6371000     		dr = 235.599579999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80649040--0.80644246) × cos(-0.68984539) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.771344420792428 × 6371000     		do = 235.58844051579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80649040--0.80644246) × cos(-0.68988237) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.771320885529884 × 6371000     		du = 235.581252240811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68984539)-sin(-0.68988237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771344420792428-0.771320885529884)×R²
    abs(-0.80644246--0.80649040)×2.35352625445051e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35352625445051e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35352625445051e-05×40589641000000     		ar = 55503.6908672888m²