Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48707 / 81036
↖ ↑ ↗
← S 39.121538°
W 46.222229°		 ← 236.90 m → S 39.121538°
W 46.219483°		 →
↑
236.94 m
↓
↑
236.94 m
↓
S 39.123668°
W 46.222229°		 ← 236.90 m →
56 130 m²		 S 39.123668°
W 46.219483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371608734130859 y=0.618259429931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371608734130859 × 217)
    floor (0.371608734130859 × 131072)
    floor (48707.5)     		tx = 48707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618259429931641 × 217)
    floor (0.618259429931641 × 131072)
    floor (81036.5)     		ty = 81036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48707 / 81036 ti = "17/48707/81036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48707/81036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48707 ÷ 217
    48707 ÷ 131072     		x = 0.371604919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81036 ÷ 217
    81036 ÷ 131072     		y = 0.618255615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371604919433594 × 2 - 1) × π
    -0.256790161132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.80673008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618255615234375 × 2 - 1) × π
    -0.23651123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.74302194411087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80673008} λ = -0.80673008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.74302194411087))-π/2
    2×atan(0.475674280278013)-π/2
    2×0.443998344824925-π/2
    0.887996689649849-1.57079632675     		φ = -0.68279964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80673008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.222229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68279964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.121538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48707 KachelY 81036 -0.80673008 -0.68279964 -46.222229 -39.121538
    Oben rechts KachelX + 1 48708 KachelY 81036 -0.80668215 -0.68279964 -46.219483 -39.121538
    Unten links KachelX 48707 KachelY + 1 81037 -0.80673008 -0.68283683 -46.222229 -39.123668
    Unten rechts KachelX + 1 48708 KachelY + 1 81037 -0.80668215 -0.68283683 -46.219483 -39.123668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68279964--0.68283683) × R
    3.71899999999092e-05 × 6371000     		dl = 236.937489999422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68279964--0.68283683) × R
    3.71899999999092e-05 × 6371000     		dr = 236.937489999422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80673008--0.80668215) × cos(-0.68279964) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.775809279649497 × 6371000     		do = 236.902696526753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80673008--0.80668215) × cos(-0.68283683) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.775785813432388 × 6371000     		du = 236.89553083506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68279964)-sin(-0.68283683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775809279649497-0.775785813432388)×R²
    abs(-0.80668215--0.80673008)×2.34662171084699e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34662171084699e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34662171084699e-05×40589641000000     		ar = 56130.2813850392m²