Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48704 / 50880
↖ ↑ ↗
← S 70.020587°
E 87.539062°		 ← 208.72 m → S 70.020587°
E 87.544556°		 →
↑
208.71 m
↓
↑
208.71 m
↓
S 70.022464°
E 87.539062°		 ← 208.70 m →
43 560 m²		 S 70.022464°
E 87.544556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743171691894531 y=0.776374816894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743171691894531 × 216)
    floor (0.743171691894531 × 65536)
    floor (48704.5)     		tx = 48704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776374816894531 × 216)
    floor (0.776374816894531 × 65536)
    floor (50880.5)     		ty = 50880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48704 / 50880 ti = "16/48704/50880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48704/50880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48704 ÷ 216
    48704 ÷ 65536     		x = 0.7431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50880 ÷ 216
    50880 ÷ 65536     		y = 0.7763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7431640625 × 2 - 1) × π
    0.486328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.52784486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7763671875 × 2 - 1) × π
    -0.552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73646625183691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52784486} λ = 1.52784486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73646625183691))-π/2
    2×atan(0.1761417426969)-π/2
    2×0.174353267108175-π/2
    0.348706534216349-1.57079632675     		φ = -1.22208979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52784486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.539062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22208979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.020587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48704 KachelY 50880 1.52784486 -1.22208979 87.539062 -70.020587
    Oben rechts KachelX + 1 48705 KachelY 50880 1.52794074 -1.22208979 87.544556 -70.020587
    Unten links KachelX 48704 KachelY + 1 50881 1.52784486 -1.22212255 87.539062 -70.022464
    Unten rechts KachelX + 1 48705 KachelY + 1 50881 1.52794074 -1.22212255 87.544556 -70.022464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22208979--1.22212255) × R
    3.2759999999854e-05 × 6371000     		dl = 208.71395999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22208979--1.22212255) × R
    3.2759999999854e-05 × 6371000     		dr = 208.71395999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52784486-1.52794074) × cos(-1.22208979) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.341682476912264 × 6371000     		do = 208.717246711786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52784486-1.52794074) × cos(-1.22212255) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.341651688374693 × 6371000     		du = 208.698439488043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22208979)-sin(-1.22212255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341682476912264-0.341651688374693)×R²
    abs(1.52794074-1.52784486)×3.07885375717687e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.07885375717687e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.07885375717687e-05×40589641000000     		ar = 43560.240419887m²