Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48703 / 81025
↖ ↑ ↗
← S 39.098094°
W 46.233215°		 ← 237.03 m → S 39.098094°
W 46.230468°		 →
↑
237 m
↓
↑
237 m
↓
S 39.100226°
W 46.233215°		 ← 237.02 m →
56 176 m²		 S 39.100226°
W 46.230468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371578216552734 y=0.618175506591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371578216552734 × 217)
    floor (0.371578216552734 × 131072)
    floor (48703.5)     		tx = 48703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618175506591797 × 217)
    floor (0.618175506591797 × 131072)
    floor (81025.5)     		ty = 81025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48703 / 81025 ti = "17/48703/81025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48703/81025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48703 ÷ 217
    48703 ÷ 131072     		x = 0.371574401855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81025 ÷ 217
    81025 ÷ 131072     		y = 0.618171691894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371574401855469 × 2 - 1) × π
    -0.256851196289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.80692183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618171691894531 × 2 - 1) × π
    -0.236343383789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.74249463821505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80692183} λ = -0.80692183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.74249463821505))-π/2
    2×atan(0.475925172273095)-π/2
    2×0.44420292325434-π/2
    0.88840584650868-1.57079632675     		φ = -0.68239048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80692183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.233215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68239048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.098094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48703 KachelY 81025 -0.80692183 -0.68239048 -46.233215 -39.098094
    Oben rechts KachelX + 1 48704 KachelY 81025 -0.80687389 -0.68239048 -46.230468 -39.098094
    Unten links KachelX 48703 KachelY + 1 81026 -0.80692183 -0.68242768 -46.233215 -39.100226
    Unten rechts KachelX + 1 48704 KachelY + 1 81026 -0.80687389 -0.68242768 -46.230468 -39.100226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68239048--0.68242768) × R
    3.71999999999595e-05 × 6371000     		dl = 237.001199999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68239048--0.68242768) × R
    3.71999999999595e-05 × 6371000     		dr = 237.001199999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80692183--0.80687389) × cos(-0.68239048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776067381356813 × 6371000     		do = 237.030954240611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80692183--0.80687389) × cos(-0.68242768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776043920639927 × 6371000     		du = 237.023788733796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68239048)-sin(-0.68242768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776067381356813-0.776043920639927)×R²
    abs(-0.80687389--0.80692183)×2.34607168854151e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34607168854151e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34607168854151e-05×40589641000000     		ar = 56175.7714818515m²