Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48703 / 81023
↖ ↑ ↗
← S 39.093831°
W 46.233215°		 ← 237.05 m → S 39.093831°
W 46.230468°		 →
↑
237.06 m
↓
↑
237.06 m
↓
S 39.095963°
W 46.233215°		 ← 237.04 m →
56 194 m²		 S 39.095963°
W 46.230468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371578216552734 y=0.618160247802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371578216552734 × 217)
    floor (0.371578216552734 × 131072)
    floor (48703.5)     		tx = 48703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618160247802734 × 217)
    floor (0.618160247802734 × 131072)
    floor (81023.5)     		ty = 81023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48703 / 81023 ti = "17/48703/81023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48703/81023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48703 ÷ 217
    48703 ÷ 131072     		x = 0.371574401855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81023 ÷ 217
    81023 ÷ 131072     		y = 0.618156433105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371574401855469 × 2 - 1) × π
    -0.256851196289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.80692183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618156433105469 × 2 - 1) × π
    -0.236312866210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.74239876441581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80692183} λ = -0.80692183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.74239876441581))-π/2
    2×atan(0.475970803214886)-π/2
    2×0.444240126643155-π/2
    0.88848025328631-1.57079632675     		φ = -0.68231607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80692183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.233215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68231607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.093831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48703 KachelY 81023 -0.80692183 -0.68231607 -46.233215 -39.093831
    Oben rechts KachelX + 1 48704 KachelY 81023 -0.80687389 -0.68231607 -46.230468 -39.093831
    Unten links KachelX 48703 KachelY + 1 81024 -0.80692183 -0.68235328 -46.233215 -39.095963
    Unten rechts KachelX + 1 48704 KachelY + 1 81024 -0.80687389 -0.68235328 -46.230468 -39.095963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68231607--0.68235328) × R
    3.72099999998987e-05 × 6371000     		dl = 237.064909999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68231607--0.68235328) × R
    3.72099999998987e-05 × 6371000     		dr = 237.064909999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80692183--0.80687389) × cos(-0.68231607) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776114305874614 × 6371000     		do = 237.045286196185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80692183--0.80687389) × cos(-0.68235328) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776090840999745 × 6371000     		du = 237.038119419414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68231607)-sin(-0.68235328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776114305874614-0.776090840999745)×R²
    abs(-0.80687389--0.80692183)×2.34648748692612e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34648748692612e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34648748692612e-05×40589641000000     		ar = 56194.2699486723m²