Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48703 / 50882
↖ ↑ ↗
← S 70.024341°
E 87.533569°		 ← 208.66 m → S 70.024341°
E 87.539062°		 →
↑
208.65 m
↓
↑
208.65 m
↓
S 70.026217°
E 87.533569°		 ← 208.64 m →
43 535 m²		 S 70.026217°
E 87.539062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743156433105469 y=0.776405334472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743156433105469 × 216)
    floor (0.743156433105469 × 65536)
    floor (48703.5)     		tx = 48703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776405334472656 × 216)
    floor (0.776405334472656 × 65536)
    floor (50882.5)     		ty = 50882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48703 / 50882 ti = "16/48703/50882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48703/50882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48703 ÷ 216
    48703 ÷ 65536     		x = 0.743148803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50882 ÷ 216
    50882 ÷ 65536     		y = 0.776397705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.743148803710938 × 2 - 1) × π
    0.486297607421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.52774899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776397705078125 × 2 - 1) × π
    -0.55279541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73665799943539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52774899} λ = 1.52774899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73665799943539))-π/2
    2×atan(0.176107971178653)-π/2
    2×0.17432051166271-π/2
    0.348641023325419-1.57079632675     		φ = -1.22215530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52774899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.533569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22215530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.024341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48703 KachelY 50882 1.52774899 -1.22215530 87.533569 -70.024341
    Oben rechts KachelX + 1 48704 KachelY 50882 1.52784486 -1.22215530 87.539062 -70.024341
    Unten links KachelX 48703 KachelY + 1 50883 1.52774899 -1.22218805 87.533569 -70.026217
    Unten rechts KachelX + 1 48704 KachelY + 1 50883 1.52784486 -1.22218805 87.539062 -70.026217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22215530--1.22218805) × R
    3.27499999999148e-05 × 6371000     		dl = 208.650249999457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22215530--1.22218805) × R
    3.27499999999148e-05 × 6371000     		dr = 208.650249999457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52774899-1.52784486) × cos(-1.22215530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341620908868832 × 6371000     		do = 208.657873113363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52774899-1.52784486) × cos(-1.22218805) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341590128996563 × 6371000     		du = 208.639073143818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22215530)-sin(-1.22218805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341620908868832-0.341590128996563)×R²
    abs(1.52784486-1.52774899)×3.07798722698482e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07798722698482e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07798722698482e-05×40589641000000     		ar = 43534.5560842301m²