Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48702 / 81214
↖ ↑ ↗
← S 39.499802°
W 46.235962°		 ← 235.67 m → S 39.499802°
W 46.233215°		 →
↑
235.66 m
↓
↑
235.66 m
↓
S 39.501921°
W 46.235962°		 ← 235.67 m →
55 539 m²		 S 39.501921°
W 46.233215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371570587158203 y=0.619617462158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371570587158203 × 217)
    floor (0.371570587158203 × 131072)
    floor (48702.5)     		tx = 48702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619617462158203 × 217)
    floor (0.619617462158203 × 131072)
    floor (81214.5)     		ty = 81214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48702 / 81214 ti = "17/48702/81214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48702/81214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48702 ÷ 217
    48702 ÷ 131072     		x = 0.371566772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81214 ÷ 217
    81214 ÷ 131072     		y = 0.619613647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371566772460938 × 2 - 1) × π
    -0.256866455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80696977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619613647460938 × 2 - 1) × π
    -0.239227294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.75155471224324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80696977} λ = -0.80696977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75155471224324))-π/2
    2×atan(0.471632729268152)-π/2
    2×0.440697362596194-π/2
    0.881394725192388-1.57079632675     		φ = -0.68940160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80696977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.235962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68940160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.499802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48702 KachelY 81214 -0.80696977 -0.68940160 -46.235962 -39.499802
    Oben rechts KachelX + 1 48703 KachelY 81214 -0.80692183 -0.68940160 -46.233215 -39.499802
    Unten links KachelX 48702 KachelY + 1 81215 -0.80696977 -0.68943859 -46.235962 -39.501921
    Unten rechts KachelX + 1 48703 KachelY + 1 81215 -0.80692183 -0.68943859 -46.233215 -39.501921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68940160--0.68943859) × R
    3.69900000000145e-05 × 6371000     		dl = 235.663290000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68940160--0.68943859) × R
    3.69900000000145e-05 × 6371000     		dr = 235.663290000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80696977--0.80692183) × cos(-0.68940160) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.771626780739346 × 6371000     		do = 235.674680511524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80696977--0.80692183) × cos(-0.68943859) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.771603251776691 × 6371000     		du = 235.667494160694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68940160)-sin(-0.68943859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771626780739346-0.771603251776691)×R²
    abs(-0.80692183--0.80696977)×2.35289626548951e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35289626548951e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35289626548951e-05×40589641000000     		ar = 55539.023805922m²