Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4870 / 3565
↖ ↑ ↗
← N 22.715390°
E 34.013672°		 ← 4 507.53 m → N 22.715390°
E 34.057617°		 →
↑
4 508.18 m
↓
↑
4 508.18 m
↓
N 22.674847°
E 34.013672°		 ← 4 508.86 m →
20 323 772 m²		 N 22.674847°
E 34.057617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59454345703125 y=0.43524169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59454345703125 × 213)
    floor (0.59454345703125 × 8192)
    floor (4870.5)     		tx = 4870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43524169921875 × 213)
    floor (0.43524169921875 × 8192)
    floor (3565.5)     		ty = 3565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4870 / 3565 ti = "13/4870/3565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4870/3565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4870 ÷ 213
    4870 ÷ 8192     		x = 0.594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3565 ÷ 213
    3565 ÷ 8192     		y = 0.4351806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594482421875 × 2 - 1) × π
    0.18896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59365056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4351806640625 × 2 - 1) × π
    0.129638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.407271899171997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59365056} λ = 0.59365056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.407271899171997))-π/2
    2×atan(1.50271263644144)-π/2
    2×0.983627336748115-π/2
    1.96725467349623-1.57079632675     		φ = 0.39645835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59365056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.013672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39645835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.715390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4870 KachelY 3565 0.59365056 0.39645835 34.013672 22.715390
    Oben rechts KachelX + 1 4871 KachelY 3565 0.59441756 0.39645835 34.057617 22.715390
    Unten links KachelX 4870 KachelY + 1 3566 0.59365056 0.39575074 34.013672 22.674847
    Unten rechts KachelX + 1 4871 KachelY + 1 3566 0.59441756 0.39575074 34.057617 22.674847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39645835-0.39575074) × R
    0.000707610000000025 × 6371000     		dl = 4508.18331000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39645835-0.39575074) × R
    0.000707610000000025 × 6371000     		dr = 4508.18331000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59365056-0.59441756) × cos(0.39645835) × R
    0.000766999999999962 × 0.922434398032567 × 6371000     		do = 4507.5282647466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59365056-0.59441756) × cos(0.39575074) × R
    0.000766999999999962 × 0.922707413385301 × 6371000     		du = 4508.86236982961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39645835)-sin(0.39575074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922434398032567-0.922707413385301)×R²
    abs(0.59441756-0.59365056)×0.000273015352734385×R²
    0.000766999999999962×0.000273015352734385×6371000²
    0.000766999999999962×0.000273015352734385×40589641000000     		ar = 20323771.7356491m²