Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48699 / 81421
↖ ↑ ↗
← S 39.937119°
W 46.244202°		 ← 234.19 m → S 39.937119°
W 46.241455°		 →
↑
234.13 m
↓
↑
234.13 m
↓
S 39.939225°
W 46.244202°		 ← 234.18 m →
54 830 m²		 S 39.939225°
W 46.241455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371547698974609 y=0.621196746826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371547698974609 × 217)
    floor (0.371547698974609 × 131072)
    floor (48699.5)     		tx = 48699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621196746826172 × 217)
    floor (0.621196746826172 × 131072)
    floor (81421.5)     		ty = 81421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48699 / 81421 ti = "17/48699/81421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48699/81421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48699 ÷ 217
    48699 ÷ 131072     		x = 0.371543884277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81421 ÷ 217
    81421 ÷ 131072     		y = 0.621192932128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371543884277344 × 2 - 1) × π
    -0.256912231445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.80711358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621192932128906 × 2 - 1) × π
    -0.242385864257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.761477650464592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80711358} λ = -0.80711358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.761477650464592))-π/2
    2×atan(0.466975889808718)-π/2
    2×0.43688105383517-π/2
    0.873762107670341-1.57079632675     		φ = -0.69703422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80711358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.244202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69703422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.937119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48699 KachelY 81421 -0.80711358 -0.69703422 -46.244202 -39.937119
    Oben rechts KachelX + 1 48700 KachelY 81421 -0.80706564 -0.69703422 -46.241455 -39.937119
    Unten links KachelX 48699 KachelY + 1 81422 -0.80711358 -0.69707097 -46.244202 -39.939225
    Unten rechts KachelX + 1 48700 KachelY + 1 81422 -0.80706564 -0.69707097 -46.241455 -39.939225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69703422--0.69707097) × R
    3.67499999999188e-05 × 6371000     		dl = 234.134249999483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69703422--0.69707097) × R
    3.67499999999188e-05 × 6371000     		dr = 234.134249999483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80711358--0.80706564) × cos(-0.69703422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766749428699545 × 6371000     		do = 234.185011654982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80711358--0.80706564) × cos(-0.69707097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766725836647769 × 6371000     		du = 234.17780603511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69703422)-sin(-0.69707097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766749428699545-0.766725836647769)×R²
    abs(-0.80706564--0.80711358)×2.35920517764887e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35920517764887e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35920517764887e-05×40589641000000     		ar = 54829.8885299702m²