Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48695 / 81414
↖ ↑ ↗
← S 39.922376°
W 46.255188°		 ← 234.24 m → S 39.922376°
W 46.252441°		 →
↑
234.26 m
↓
↑
234.26 m
↓
S 39.924482°
W 46.255188°		 ← 234.23 m →
54 872 m²		 S 39.924482°
W 46.252441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371517181396484 y=0.621143341064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371517181396484 × 217)
    floor (0.371517181396484 × 131072)
    floor (48695.5)     		tx = 48695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621143341064453 × 217)
    floor (0.621143341064453 × 131072)
    floor (81414.5)     		ty = 81414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48695 / 81414 ti = "17/48695/81414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48695/81414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48695 ÷ 217
    48695 ÷ 131072     		x = 0.371513366699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81414 ÷ 217
    81414 ÷ 131072     		y = 0.621139526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371513366699219 × 2 - 1) × π
    -0.256973266601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.80730533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621139526367188 × 2 - 1) × π
    -0.242279052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.761142092167252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80730533} λ = -0.80730533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.761142092167252))-π/2
    2×atan(0.467132613736738)-π/2
    2×0.437009712256924-π/2
    0.874019424513848-1.57079632675     		φ = -0.69677690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80730533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.255188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69677690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.922376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48695 KachelY 81414 -0.80730533 -0.69677690 -46.255188 -39.922376
    Oben rechts KachelX + 1 48696 KachelY 81414 -0.80725739 -0.69677690 -46.252441 -39.922376
    Unten links KachelX 48695 KachelY + 1 81415 -0.80730533 -0.69681367 -46.255188 -39.924482
    Unten rechts KachelX + 1 48696 KachelY + 1 81415 -0.80725739 -0.69681367 -46.252441 -39.924482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69677690--0.69681367) × R
    3.67700000000193e-05 × 6371000     		dl = 234.261670000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69677690--0.69681367) × R
    3.67700000000193e-05 × 6371000     		dr = 234.261670000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80730533--0.80725739) × cos(-0.69677690) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.766914588987436 × 6371000     		do = 234.235455858672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80730533--0.80725739) × cos(-0.69681367) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.766890991351555 × 6371000     		du = 234.228248533271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69677690)-sin(-0.69681367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766914588987436-0.766890991351555)×R²
    abs(-0.80725739--0.80730533)×2.35976358808898e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35976358808898e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35976358808898e-05×40589641000000     		ar = 54871.5448687782m²