Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48691 / 81011
↖ ↑ ↗
← S 39.068247°
W 46.266174°		 ← 237.08 m → S 39.068247°
W 46.263428°		 →
↑
237.13 m
↓
↑
237.13 m
↓
S 39.070379°
W 46.266174°		 ← 237.07 m →
56 218 m²		 S 39.070379°
W 46.263428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371486663818359 y=0.618068695068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371486663818359 × 217)
    floor (0.371486663818359 × 131072)
    floor (48691.5)     		tx = 48691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618068695068359 × 217)
    floor (0.618068695068359 × 131072)
    floor (81011.5)     		ty = 81011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48691 / 81011 ti = "17/48691/81011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48691/81011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48691 ÷ 217
    48691 ÷ 131072     		x = 0.371482849121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81011 ÷ 217
    81011 ÷ 131072     		y = 0.618064880371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371482849121094 × 2 - 1) × π
    -0.257034301757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.80749707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618064880371094 × 2 - 1) × π
    -0.236129760742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.741823521620369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80749707} λ = -0.80749707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.741823521620369))-π/2
    2×atan(0.476244680755764)-π/2
    2×0.444463394208545-π/2
    0.888926788417089-1.57079632675     		φ = -0.68186954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80749707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.266174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68186954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.068247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48691 KachelY 81011 -0.80749707 -0.68186954 -46.266174 -39.068247
    Oben rechts KachelX + 1 48692 KachelY 81011 -0.80744914 -0.68186954 -46.263428 -39.068247
    Unten links KachelX 48691 KachelY + 1 81012 -0.80749707 -0.68190676 -46.266174 -39.070379
    Unten rechts KachelX + 1 48692 KachelY + 1 81012 -0.80744914 -0.68190676 -46.263428 -39.070379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68186954--0.68190676) × R
    3.7219999999949e-05 × 6371000     		dl = 237.128619999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68186954--0.68190676) × R
    3.7219999999949e-05 × 6371000     		dr = 237.128619999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80749707--0.80744914) × cos(-0.68186954) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.776395806847761 × 6371000     		do = 237.081799662665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80749707--0.80744914) × cos(-0.68190676) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.776372348567726 × 6371000     		du = 237.074636394653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68186954)-sin(-0.68190676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776395806847761-0.776372348567726)×R²
    abs(-0.80744914--0.80749707)×2.3458280035471e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3458280035471e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3458280035471e-05×40589641000000     		ar = 56218.0306795756m²