Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48690 / 81714
↖ ↑ ↗
← S 40.551374°
W 46.268921°		 ← 232.07 m → S 40.551374°
W 46.266174°		 →
↑
232.03 m
↓
↑
232.03 m
↓
S 40.553461°
W 46.268921°		 ← 232.06 m →
53 847 m²		 S 40.553461°
W 46.266174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371479034423828 y=0.623432159423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371479034423828 × 217)
    floor (0.371479034423828 × 131072)
    floor (48690.5)     		tx = 48690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623432159423828 × 217)
    floor (0.623432159423828 × 131072)
    floor (81714.5)     		ty = 81714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48690 / 81714 ti = "17/48690/81714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48690/81714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48690 ÷ 217
    48690 ÷ 131072     		x = 0.371475219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81714 ÷ 217
    81714 ÷ 131072     		y = 0.623428344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371475219726562 × 2 - 1) × π
    -0.257049560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80754501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623428344726562 × 2 - 1) × π
    -0.246856689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.775523162053268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80754501} λ = -0.80754501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.775523162053268))-π/2
    2×atan(0.460462821298931)-π/2
    2×0.431520665417941-π/2
    0.863041330835882-1.57079632675     		φ = -0.70775500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80754501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.268921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70775500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.551374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48690 KachelY 81714 -0.80754501 -0.70775500 -46.268921 -40.551374
    Oben rechts KachelX + 1 48691 KachelY 81714 -0.80749707 -0.70775500 -46.266174 -40.551374
    Unten links KachelX 48690 KachelY + 1 81715 -0.80754501 -0.70779142 -46.268921 -40.553461
    Unten rechts KachelX + 1 48691 KachelY + 1 81715 -0.80749707 -0.70779142 -46.266174 -40.553461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70775500--0.70779142) × R
    3.6419999999926e-05 × 6371000     		dl = 232.031819999528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70775500--0.70779142) × R
    3.6419999999926e-05 × 6371000     		dr = 232.031819999528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80754501--0.80749707) × cos(-0.70775500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759823330496613 × 6371000     		do = 232.06960298604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80754501--0.80749707) × cos(-0.70779142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759799652272396 × 6371000     		du = 232.062371046887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70775500)-sin(-0.70779142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759823330496613-0.759799652272396)×R²
    abs(-0.80749707--0.80754501)×2.36782242176714e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36782242176714e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36782242176714e-05×40589641000000     		ar = 53846.6933332572m²