Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48689 / 81870
↖ ↑ ↗
← S 40.876141°
W 46.271668°		 ← 230.94 m → S 40.876141°
W 46.268921°		 →
↑
230.95 m
↓
↑
230.95 m
↓
S 40.878218°
W 46.271668°		 ← 230.93 m →
53 335 m²		 S 40.878218°
W 46.268921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371471405029297 y=0.624622344970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371471405029297 × 217)
    floor (0.371471405029297 × 131072)
    floor (48689.5)     		tx = 48689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624622344970703 × 217)
    floor (0.624622344970703 × 131072)
    floor (81870.5)     		ty = 81870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48689 / 81870 ti = "17/48689/81870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48689/81870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48689 ÷ 217
    48689 ÷ 131072     		x = 0.371467590332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81870 ÷ 217
    81870 ÷ 131072     		y = 0.624618530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371467590332031 × 2 - 1) × π
    -0.257064819335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.80759295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624618530273438 × 2 - 1) × π
    -0.249237060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.783001318393997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80759295} λ = -0.80759295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783001318393997))-π/2
    2×atan(0.457032251488104)-π/2
    2×0.428686536835924-π/2
    0.857373073671848-1.57079632675     		φ = -0.71342325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80759295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.271668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71342325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.876141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48689 KachelY 81870 -0.80759295 -0.71342325 -46.271668 -40.876141
    Oben rechts KachelX + 1 48690 KachelY 81870 -0.80754501 -0.71342325 -46.268921 -40.876141
    Unten links KachelX 48689 KachelY + 1 81871 -0.80759295 -0.71345950 -46.271668 -40.878218
    Unten rechts KachelX + 1 48690 KachelY + 1 81871 -0.80754501 -0.71345950 -46.268921 -40.878218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71342325--0.71345950) × R
    3.62500000000709e-05 × 6371000     		dl = 230.948750000452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71342325--0.71345950) × R
    3.62500000000709e-05 × 6371000     		dr = 230.948750000452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80759295--0.80754501) × cos(-0.71342325) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756126046911218 × 6371000     		do = 230.940357410982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80759295--0.80754501) × cos(-0.71345950) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7561023234716 × 6371000     		du = 230.933111661881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71342325)-sin(-0.71345950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756126046911218-0.7561023234716)×R²
    abs(-0.80754501--0.80759295)×2.37234396175401e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37234396175401e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37234396175401e-05×40589641000000     		ar = 53334.5501762929m²