Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48688 / 81103
↖ ↑ ↗
← S 39.264158°
W 46.274414°		 ← 236.42 m → S 39.264158°
W 46.271668°		 →
↑
236.49 m
↓
↑
236.49 m
↓
S 39.266285°
W 46.274414°		 ← 236.42 m →
55 911 m²		 S 39.266285°
W 46.271668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371463775634766 y=0.618770599365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371463775634766 × 217)
    floor (0.371463775634766 × 131072)
    floor (48688.5)     		tx = 48688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618770599365234 × 217)
    floor (0.618770599365234 × 131072)
    floor (81103.5)     		ty = 81103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48688 / 81103 ti = "17/48688/81103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48688/81103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48688 ÷ 217
    48688 ÷ 131072     		x = 0.3714599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81103 ÷ 217
    81103 ÷ 131072     		y = 0.618766784667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3714599609375 × 2 - 1) × π
    -0.257080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80764088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618766784667969 × 2 - 1) × π
    -0.237533569335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.746233716385414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80764088} λ = -0.80764088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746233716385414))-π/2
    2×atan(0.474148973592953)-π/2
    2×0.44275374627218-π/2
    0.885507492544359-1.57079632675     		φ = -0.68528883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80764088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.274414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68528883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.264158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48688 KachelY 81103 -0.80764088 -0.68528883 -46.274414 -39.264158
    Oben rechts KachelX + 1 48689 KachelY 81103 -0.80759295 -0.68528883 -46.271668 -39.264158
    Unten links KachelX 48688 KachelY + 1 81104 -0.80764088 -0.68532595 -46.274414 -39.266285
    Unten rechts KachelX + 1 48689 KachelY + 1 81104 -0.80759295 -0.68532595 -46.271668 -39.266285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68528883--0.68532595) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dl = 236.49152000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68528883--0.68532595) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dr = 236.49152000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80764088--0.80759295) × cos(-0.68528883) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.774236279846473 × 6371000     		do = 236.422362113712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80764088--0.80759295) × cos(-0.68532595) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.77421278618903 × 6371000     		du = 236.415188042783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68528883)-sin(-0.68532595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774236279846473-0.77421278618903)×R²
    abs(-0.80759295--0.80764088)×2.3493657443141e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3493657443141e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3493657443141e-05×40589641000000     		ar = 55911.0354812716m²