Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48682 / 81018
↖ ↑ ↗
← S 39.083172°
W 46.290894°		 ← 237.08 m → S 39.083172°
W 46.288147°		 →
↑
237.06 m
↓
↑
237.06 m
↓
S 39.085304°
W 46.290894°		 ← 237.07 m →
56 203 m²		 S 39.085304°
W 46.288147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371417999267578 y=0.618122100830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371417999267578 × 217)
    floor (0.371417999267578 × 131072)
    floor (48682.5)     		tx = 48682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618122100830078 × 217)
    floor (0.618122100830078 × 131072)
    floor (81018.5)     		ty = 81018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48682 / 81018 ti = "17/48682/81018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48682/81018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48682 ÷ 217
    48682 ÷ 131072     		x = 0.371414184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81018 ÷ 217
    81018 ÷ 131072     		y = 0.618118286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371414184570312 × 2 - 1) × π
    -0.257171630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80792851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618118286132812 × 2 - 1) × π
    -0.236236572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.742159079917709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80792851} λ = -0.80792851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.742159079917709))-π/2
    2×atan(0.476084899710999)-π/2
    2×0.444333144955654-π/2
    0.888666289911308-1.57079632675     		φ = -0.68213004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80792851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.290894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68213004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.083172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48682 KachelY 81018 -0.80792851 -0.68213004 -46.290894 -39.083172
    Oben rechts KachelX + 1 48683 KachelY 81018 -0.80788057 -0.68213004 -46.288147 -39.083172
    Unten links KachelX 48682 KachelY + 1 81019 -0.80792851 -0.68216725 -46.290894 -39.085304
    Unten rechts KachelX + 1 48683 KachelY + 1 81019 -0.80788057 -0.68216725 -46.288147 -39.085304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68213004--0.68216725) × R
    3.72100000000097e-05 × 6371000     		dl = 237.064910000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68213004--0.68216725) × R
    3.72100000000097e-05 × 6371000     		dr = 237.064910000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80792851--0.80788057) × cos(-0.68213004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776231601520421 × 6371000     		do = 237.081111305604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80792851--0.80788057) × cos(-0.68216725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776208142018277 × 6371000     		du = 237.073946169802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68213004)-sin(-0.68216725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776231601520421-0.776208142018277)×R²
    abs(-0.80788057--0.80792851)×2.34595021445516e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34595021445516e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34595021445516e-05×40589641000000     		ar = 56202.7630195555m²