Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48681 / 81016
↖ ↑ ↗
← S 39.078908°
W 46.293640°		 ← 237.05 m → S 39.078908°
W 46.290894°		 →
↑
237.13 m
↓
↑
237.13 m
↓
S 39.081040°
W 46.293640°		 ← 237.04 m →
56 210 m²		 S 39.081040°
W 46.290894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371410369873047 y=0.618106842041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371410369873047 × 217)
    floor (0.371410369873047 × 131072)
    floor (48681.5)     		tx = 48681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618106842041016 × 217)
    floor (0.618106842041016 × 131072)
    floor (81016.5)     		ty = 81016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48681 / 81016 ti = "17/48681/81016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48681/81016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48681 ÷ 217
    48681 ÷ 131072     		x = 0.371406555175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81016 ÷ 217
    81016 ÷ 131072     		y = 0.61810302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371406555175781 × 2 - 1) × π
    -0.257186889648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.80797644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61810302734375 × 2 - 1) × π
    -0.2362060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.742063206118469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80797644} λ = -0.80797644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.742063206118469))-π/2
    2×atan(0.4761305459672)-π/2
    2×0.444370356216655-π/2
    0.88874071243331-1.57079632675     		φ = -0.68205561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80797644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.293640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68205561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.078908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48681 KachelY 81016 -0.80797644 -0.68205561 -46.293640 -39.078908
    Oben rechts KachelX + 1 48682 KachelY 81016 -0.80792851 -0.68205561 -46.290894 -39.078908
    Unten links KachelX 48681 KachelY + 1 81017 -0.80797644 -0.68209283 -46.293640 -39.081040
    Unten rechts KachelX + 1 48682 KachelY + 1 81017 -0.80792851 -0.68209283 -46.290894 -39.081040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68205561--0.68209283) × R
    3.7219999999949e-05 × 6371000     		dl = 237.128619999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68205561--0.68209283) × R
    3.7219999999949e-05 × 6371000     		dr = 237.128619999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80797644--0.80792851) × cos(-0.68205561) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.776278523604305 × 6371000     		do = 237.045985813359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80797644--0.80792851) × cos(-0.68209283) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.776255059947808 × 6371000     		du = 237.038820903579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68205561)-sin(-0.68209283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776278523604305-0.776255059947808)×R²
    abs(-0.80792851--0.80797644)×2.34636564969692e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34636564969692e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34636564969692e-05×40589641000000     		ar = 56209.5379962352m²