Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48681 / 81007
↖ ↑ ↗
← S 39.059717°
W 46.293640°		 ← 237.11 m → S 39.059717°
W 46.290894°		 →
↑
237.13 m
↓
↑
237.13 m
↓
S 39.061849°
W 46.293640°		 ← 237.10 m →
56 225 m²		 S 39.061849°
W 46.290894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371410369873047 y=0.618038177490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371410369873047 × 217)
    floor (0.371410369873047 × 131072)
    floor (48681.5)     		tx = 48681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618038177490234 × 217)
    floor (0.618038177490234 × 131072)
    floor (81007.5)     		ty = 81007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48681 / 81007 ti = "17/48681/81007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48681/81007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48681 ÷ 217
    48681 ÷ 131072     		x = 0.371406555175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81007 ÷ 217
    81007 ÷ 131072     		y = 0.618034362792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371406555175781 × 2 - 1) × π
    -0.257186889648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.80797644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618034362792969 × 2 - 1) × π
    -0.236068725585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.741631774021889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80797644} λ = -0.80797644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.741631774021889))-π/2
    2×atan(0.476336008285225)-π/2
    2×0.44453783472199-π/2
    0.889075669443981-1.57079632675     		φ = -0.68172066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80797644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.293640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68172066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.059717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48681 KachelY 81007 -0.80797644 -0.68172066 -46.293640 -39.059717
    Oben rechts KachelX + 1 48682 KachelY 81007 -0.80792851 -0.68172066 -46.290894 -39.059717
    Unten links KachelX 48681 KachelY + 1 81008 -0.80797644 -0.68175788 -46.293640 -39.061849
    Unten rechts KachelX + 1 48682 KachelY + 1 81008 -0.80792851 -0.68175788 -46.290894 -39.061849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68172066--0.68175788) × R
    3.722000000006e-05 × 6371000     		dl = 237.128620000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68172066--0.68175788) × R
    3.722000000006e-05 × 6371000     		dr = 237.128620000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80797644--0.80792851) × cos(-0.68172066) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.776489629211946 × 6371000     		do = 237.110449450252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80797644--0.80792851) × cos(-0.68175788) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.776466175234358 × 6371000     		du = 237.103287496045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68172066)-sin(-0.68175788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776489629211946-0.776466175234358)×R²
    abs(-0.80792851--0.80797644)×2.34539775878506e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34539775878506e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34539775878506e-05×40589641000000     		ar = 56224.8245201474m²