Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48680 / 81020
↖ ↑ ↗
← S 39.087436°
W 46.296387°		 ← 237.07 m → S 39.087436°
W 46.293640°		 →
↑
237.06 m
↓
↑
237.06 m
↓
S 39.089568°
W 46.296387°		 ← 237.06 m →
56 199 m²		 S 39.089568°
W 46.293640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371402740478516 y=0.618137359619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371402740478516 × 217)
    floor (0.371402740478516 × 131072)
    floor (48680.5)     		tx = 48680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618137359619141 × 217)
    floor (0.618137359619141 × 131072)
    floor (81020.5)     		ty = 81020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48680 / 81020 ti = "17/48680/81020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48680/81020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48680 ÷ 217
    48680 ÷ 131072     		x = 0.37139892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81020 ÷ 217
    81020 ÷ 131072     		y = 0.618133544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37139892578125 × 2 - 1) × π
    -0.2572021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80802438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618133544921875 × 2 - 1) × π
    -0.23626708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.742254953716949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80802438} λ = -0.80802438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.742254953716949))-π/2
    2×atan(0.476039257830868)-π/2
    2×0.444295935943762-π/2
    0.888591871887524-1.57079632675     		φ = -0.68220445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80802438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.296387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68220445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.087436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48680 KachelY 81020 -0.80802438 -0.68220445 -46.296387 -39.087436
    Oben rechts KachelX + 1 48681 KachelY 81020 -0.80797644 -0.68220445 -46.293640 -39.087436
    Unten links KachelX 48680 KachelY + 1 81021 -0.80802438 -0.68224166 -46.296387 -39.089568
    Unten rechts KachelX + 1 48681 KachelY + 1 81021 -0.80797644 -0.68224166 -46.293640 -39.089568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68220445--0.68224166) × R
    3.72100000000097e-05 × 6371000     		dl = 237.064910000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68220445--0.68224166) × R
    3.72100000000097e-05 × 6371000     		dr = 237.064910000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80802438--0.80797644) × cos(-0.68220445) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776184687746463 × 6371000     		do = 237.066782631477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80802438--0.80797644) × cos(-0.68224166) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776161226095189 × 6371000     		du = 237.059616839275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68220445)-sin(-0.68224166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776184687746463-0.776161226095189)×R²
    abs(-0.80797644--0.80802438)×2.34616512740926e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34616512740926e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34616512740926e-05×40589641000000     		ar = 56199.3661159887m²