Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4868 / 8971
↖ ↑ ↗
← N 62.860158°
W126.518554°		 ← 557.24 m → N 62.860158°
W126.507569°		 →
↑
557.34 m
↓
↑
557.34 m
↓
N 62.855145°
W126.518554°		 ← 557.33 m →
310 595 m²		 N 62.855145°
W126.507569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148574829101562 y=0.273788452148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148574829101562 × 215)
    floor (0.148574829101562 × 32768)
    floor (4868.5)     		tx = 4868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273788452148438 × 215)
    floor (0.273788452148438 × 32768)
    floor (8971.5)     		ty = 8971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4868 / 8971 ti = "15/4868/8971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4868/8971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4868 ÷ 215
    4868 ÷ 32768     		x = 0.1485595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8971 ÷ 215
    8971 ÷ 32768     		y = 0.273773193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1485595703125 × 2 - 1) × π
    -0.702880859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.20816534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273773193359375 × 2 - 1) × π
    0.45245361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42142494753391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20816534} λ = -2.20816534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42142494753391))-π/2
    2×atan(4.14301982197671)-π/2
    2×1.33395652200651-π/2
    2.66791304401301-1.57079632675     		φ = 1.09711672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20816534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.518554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09711672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.860158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4868 KachelY 8971 -2.20816534 1.09711672 -126.518554 62.860158
    Oben rechts KachelX + 1 4869 KachelY 8971 -2.20797360 1.09711672 -126.507569 62.860158
    Unten links KachelX 4868 KachelY + 1 8972 -2.20816534 1.09702924 -126.518554 62.855145
    Unten rechts KachelX + 1 4869 KachelY + 1 8972 -2.20797360 1.09702924 -126.507569 62.855145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09711672-1.09702924) × R
    8.74800000001397e-05 × 6371000     		dl = 557.33508000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09711672-1.09702924) × R
    8.74800000001397e-05 × 6371000     		dr = 557.33508000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20816534--2.20797360) × cos(1.09711672) × R
    0.000191739999999996 × 0.456163832782567 × 6371000     		do = 557.238580359821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20816534--2.20797360) × cos(1.09702924) × R
    0.000191739999999996 × 0.456241679122718 × 6371000     		du = 557.333675544829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09711672)-sin(1.09702924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456163832782567-0.456241679122718)×R²
    abs(-2.20797360--2.20816534)×7.78463401516771e-05×R²
    0.000191739999999996×7.78463401516771e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.78463401516771e-05×40589641000000     		ar = 310595.108904422m²