Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4868 / 3694
↖ ↑ ↗
← N 17.392579°
E 33.925781°		 ← 4 663.08 m → N 17.392579°
E 33.969726°		 →
↑
4 663.57 m
↓
↑
4 663.57 m
↓
N 17.350639°
E 33.925781°		 ← 4 664.15 m →
21 749 092 m²		 N 17.350639°
E 33.969726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59429931640625 y=0.45098876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59429931640625 × 213)
    floor (0.59429931640625 × 8192)
    floor (4868.5)     		tx = 4868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45098876953125 × 213)
    floor (0.45098876953125 × 8192)
    floor (3694.5)     		ty = 3694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4868 / 3694 ti = "13/4868/3694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4868/3694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4868 ÷ 213
    4868 ÷ 8192     		x = 0.59423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3694 ÷ 213
    3694 ÷ 8192     		y = 0.450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59423828125 × 2 - 1) × π
    0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450927734375 × 2 - 1) × π
    0.09814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.308330138356201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59211658} λ = 0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.308330138356201))-π/2
    2×atan(1.36115028268539)-π/2
    2×0.93717705024028-π/2
    1.87435410048056-1.57079632675     		φ = 0.30355777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30355777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.392579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4868 KachelY 3694 0.59211658 0.30355777 33.925781 17.392579
    Oben rechts KachelX + 1 4869 KachelY 3694 0.59288357 0.30355777 33.969726 17.392579
    Unten links KachelX 4868 KachelY + 1 3695 0.59211658 0.30282577 33.925781 17.350639
    Unten rechts KachelX + 1 4869 KachelY + 1 3695 0.59288357 0.30282577 33.969726 17.350639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30355777-0.30282577) × R
    0.00073200000000001 × 6371000     		dl = 4663.57200000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30355777-0.30282577) × R
    0.00073200000000001 × 6371000     		dr = 4663.57200000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59211658-0.59288357) × cos(0.30355777) × R
    0.000766990000000023 × 0.954279052229955 × 6371000     		do = 4663.07818550937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59211658-0.59288357) × cos(0.30282577) × R
    0.000766990000000023 × 0.954497603935591 × 6371000     		du = 4664.14613695248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30355777)-sin(0.30282577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954279052229955-0.954497603935591)×R²
    abs(0.59288357-0.59211658)×0.000218551705636338×R²
    0.000766990000000023×0.000218551705636338×6371000²
    0.000766990000000023×0.000218551705636338×40589641000000     		ar = 21749092.065118m²