Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4868 / 3564
↖ ↑ ↗
← N 22.755921°
E 33.925781°		 ← 4 506.13 m → N 22.755921°
E 33.969726°		 →
↑
4 506.78 m
↓
↑
4 506.78 m
↓
N 22.715390°
E 33.925781°		 ← 4 507.47 m →
20 311 171 m²		 N 22.715390°
E 33.969726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59429931640625 y=0.43511962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59429931640625 × 213)
    floor (0.59429931640625 × 8192)
    floor (4868.5)     		tx = 4868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43511962890625 × 213)
    floor (0.43511962890625 × 8192)
    floor (3564.5)     		ty = 3564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4868 / 3564 ti = "13/4868/3564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4868/3564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4868 ÷ 213
    4868 ÷ 8192     		x = 0.59423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3564 ÷ 213
    3564 ÷ 8192     		y = 0.43505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59423828125 × 2 - 1) × π
    0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43505859375 × 2 - 1) × π
    0.1298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.408038889565918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59211658} λ = 0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.408038889565918))-π/2
    2×atan(1.50386564471503)-π/2
    2×0.983981033499376-π/2
    1.96796206699875-1.57079632675     		φ = 0.39716574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39716574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.755921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4868 KachelY 3564 0.59211658 0.39716574 33.925781 22.755921
    Oben rechts KachelX + 1 4869 KachelY 3564 0.59288357 0.39716574 33.969726 22.755921
    Unten links KachelX 4868 KachelY + 1 3565 0.59211658 0.39645835 33.925781 22.715390
    Unten rechts KachelX + 1 4869 KachelY + 1 3565 0.59288357 0.39645835 33.969726 22.715390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39716574-0.39645835) × R
    0.000707389999999974 × 6371000     		dl = 4506.78168999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39716574-0.39645835) × R
    0.000707389999999974 × 6371000     		dr = 4506.78168999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59211658-0.59288357) × cos(0.39716574) × R
    0.000766990000000023 × 0.922161005903359 × 6371000     		do = 4506.13356764655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59211658-0.59288357) × cos(0.39645835) × R
    0.000766990000000023 × 0.922434398032567 × 6371000     		du = 4507.46949645146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39716574)-sin(0.39645835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922161005903359-0.922434398032567)×R²
    abs(0.59288357-0.59211658)×0.00027339212920785×R²
    0.000766990000000023×0.00027339212920785×6371000²
    0.000766990000000023×0.00027339212920785×40589641000000     		ar = 20311171.4720773m²