Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48675 / 82142
↖ ↑ ↗
← S 41.438609°
W 46.310119°		 ← 228.92 m → S 41.438609°
W 46.307373°		 →
↑
228.91 m
↓
↑
228.91 m
↓
S 41.440667°
W 46.310119°		 ← 228.91 m →
52 401 m²		 S 41.440667°
W 46.307373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371364593505859 y=0.626697540283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371364593505859 × 217)
    floor (0.371364593505859 × 131072)
    floor (48675.5)     		tx = 48675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626697540283203 × 217)
    floor (0.626697540283203 × 131072)
    floor (82142.5)     		ty = 82142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48675 / 82142 ti = "17/48675/82142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48675/82142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48675 ÷ 217
    48675 ÷ 131072     		x = 0.371360778808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82142 ÷ 217
    82142 ÷ 131072     		y = 0.626693725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371360778808594 × 2 - 1) × π
    -0.257278442382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.80826406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626693725585938 × 2 - 1) × π
    -0.253387451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.796040155090653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80826406} λ = -0.80826406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.796040155090653))-π/2
    2×atan(0.451111764605542)-π/2
    2×0.423778085748289-π/2
    0.847556171496577-1.57079632675     		φ = -0.72324016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80826406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.310119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72324016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.438609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48675 KachelY 82142 -0.80826406 -0.72324016 -46.310119 -41.438609
    Oben rechts KachelX + 1 48676 KachelY 82142 -0.80821613 -0.72324016 -46.307373 -41.438609
    Unten links KachelX 48675 KachelY + 1 82143 -0.80826406 -0.72327609 -46.310119 -41.440667
    Unten rechts KachelX + 1 48676 KachelY + 1 82143 -0.80821613 -0.72327609 -46.307373 -41.440667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72324016--0.72327609) × R
    3.59300000000173e-05 × 6371000     		dl = 228.91003000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72324016--0.72327609) × R
    3.59300000000173e-05 × 6371000     		dr = 228.91003000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80826406--0.80821613) × cos(-0.72324016) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.749665274576364 × 6371000     		do = 228.919310064756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80826406--0.80821613) × cos(-0.72327609) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.749641495001295 × 6371000     		du = 228.91204868544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72324016)-sin(-0.72327609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749665274576364-0.749641495001295)×R²
    abs(-0.80821613--0.80826406)×2.37795750690495e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.37795750690495e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.37795750690495e-05×40589641000000     		ar = 52401.0950389242m²