Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48672 / 81312
↖ ↑ ↗
← S 39.707186°
W 46.318360°		 ← 234.97 m → S 39.707186°
W 46.315613°		 →
↑
234.96 m
↓
↑
234.96 m
↓
S 39.709300°
W 46.318360°		 ← 234.96 m →
55 208 m²		 S 39.709300°
W 46.315613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371341705322266 y=0.620365142822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371341705322266 × 217)
    floor (0.371341705322266 × 131072)
    floor (48672.5)     		tx = 48672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620365142822266 × 217)
    floor (0.620365142822266 × 131072)
    floor (81312.5)     		ty = 81312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48672 / 81312 ti = "17/48672/81312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48672/81312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48672 ÷ 217
    48672 ÷ 131072     		x = 0.371337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81312 ÷ 217
    81312 ÷ 131072     		y = 0.620361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.25732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80840788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620361328125 × 2 - 1) × π
    -0.24072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.756252528406006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80840788} λ = -0.80840788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756252528406006))-π/2
    2×atan(0.469422281613351)-π/2
    2×0.438887591472971-π/2
    0.877775182945943-1.57079632675     		φ = -0.69302114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80840788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.318360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69302114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.707186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48672 KachelY 81312 -0.80840788 -0.69302114 -46.318360 -39.707186
    Oben rechts KachelX + 1 48673 KachelY 81312 -0.80835994 -0.69302114 -46.315613 -39.707186
    Unten links KachelX 48672 KachelY + 1 81313 -0.80840788 -0.69305802 -46.318360 -39.709300
    Unten rechts KachelX + 1 48673 KachelY + 1 81313 -0.80835994 -0.69305802 -46.315613 -39.709300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69302114--0.69305802) × R
    3.68800000000169e-05 × 6371000     		dl = 234.962480000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69302114--0.69305802) × R
    3.68800000000169e-05 × 6371000     		dr = 234.962480000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80840788--0.80835994) × cos(-0.69302114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769319430290659 × 6371000     		do = 234.969956292749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80840788--0.80835994) × cos(-0.69305802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769295868451503 × 6371000     		du = 234.962759900589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69302114)-sin(-0.69305802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769319430290659-0.769295868451503)×R²
    abs(-0.80835994--0.80840788)×2.35618391553061e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35618391553061e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35618391553061e-05×40589641000000     		ar = 55208.2782212923m²