Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4867 / 3693
↖ ↑ ↗
← N 17.434510°
E 33.881836°		 ← 4 662.01 m → N 17.434510°
E 33.925781°		 →
↑
4 662.55 m
↓
↑
4 662.55 m
↓
N 17.392579°
E 33.881836°		 ← 4 663.08 m →
21 739 354 m²		 N 17.392579°
E 33.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59417724609375 y=0.45086669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59417724609375 × 213)
    floor (0.59417724609375 × 8192)
    floor (4867.5)     		tx = 4867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45086669921875 × 213)
    floor (0.45086669921875 × 8192)
    floor (3693.5)     		ty = 3693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4867 / 3693 ti = "13/4867/3693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4867/3693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4867 ÷ 213
    4867 ÷ 8192     		x = 0.5941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3693 ÷ 213
    3693 ÷ 8192     		y = 0.4508056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5941162109375 × 2 - 1) × π
    0.188232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59134959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4508056640625 × 2 - 1) × π
    0.098388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.309097128750122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59134959} λ = 0.59134959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.309097128750122))-π/2
    2×atan(1.36219467234411)-π/2
    2×0.937542969692117-π/2
    1.87508593938423-1.57079632675     		φ = 0.30428961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59134959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.881836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30428961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.434510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4867 KachelY 3693 0.59134959 0.30428961 33.881836 17.434510
    Oben rechts KachelX + 1 4868 KachelY 3693 0.59211658 0.30428961 33.925781 17.434510
    Unten links KachelX 4867 KachelY + 1 3694 0.59134959 0.30355777 33.881836 17.392579
    Unten rechts KachelX + 1 4868 KachelY + 1 3694 0.59211658 0.30355777 33.925781 17.392579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30428961-0.30355777) × R
    0.000731839999999984 × 6371000     		dl = 4662.5526399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30428961-0.30355777) × R
    0.000731839999999984 × 6371000     		dr = 4662.5526399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59134959-0.59211658) × cos(0.30428961) × R
    0.000766990000000023 × 0.954060037137214 × 6371000     		do = 4662.00796972829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59134959-0.59211658) × cos(0.30355777) × R
    0.000766990000000023 × 0.954279052229955 × 6371000     		du = 4663.07818550937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30428961)-sin(0.30355777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954060037137214-0.954279052229955)×R²
    abs(0.59211658-0.59134959)×0.000219015092740804×R²
    0.000766990000000023×0.000219015092740804×6371000²
    0.000766990000000023×0.000219015092740804×40589641000000     		ar = 21739353.5059465m²