Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48666 / 81001
↖ ↑ ↗
← S 39.046919°
W 46.334839°		 ← 237.20 m → S 39.046919°
W 46.332092°		 →
↑
237.19 m
↓
↑
237.19 m
↓
S 39.049052°
W 46.334839°		 ← 237.20 m →
56 262 m²		 S 39.049052°
W 46.332092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371295928955078 y=0.617992401123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371295928955078 × 217)
    floor (0.371295928955078 × 131072)
    floor (48666.5)     		tx = 48666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617992401123047 × 217)
    floor (0.617992401123047 × 131072)
    floor (81001.5)     		ty = 81001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48666 / 81001 ti = "17/48666/81001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48666/81001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48666 ÷ 217
    48666 ÷ 131072     		x = 0.371292114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81001 ÷ 217
    81001 ÷ 131072     		y = 0.617988586425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371292114257812 × 2 - 1) × π
    -0.257415771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80869550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617988586425781 × 2 - 1) × π
    -0.235977172851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.741344152624168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80869550} λ = -0.80869550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.741344152624168))-π/2
    2×atan(0.476473032418304)-π/2
    2×0.444649512357396-π/2
    0.889299024714792-1.57079632675     		φ = -0.68149730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80869550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.334839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68149730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.046919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48666 KachelY 81001 -0.80869550 -0.68149730 -46.334839 -39.046919
    Oben rechts KachelX + 1 48667 KachelY 81001 -0.80864756 -0.68149730 -46.332092 -39.046919
    Unten links KachelX 48666 KachelY + 1 81002 -0.80869550 -0.68153453 -46.334839 -39.049052
    Unten rechts KachelX + 1 48667 KachelY + 1 81002 -0.80864756 -0.68153453 -46.332092 -39.049052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68149730--0.68153453) × R
    3.72299999999992e-05 × 6371000     		dl = 237.192329999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68149730--0.68153453) × R
    3.72299999999992e-05 × 6371000     		dr = 237.192329999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80869550--0.80864756) × cos(-0.68149730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776630355685044 × 6371000     		do = 237.202901091412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80869550--0.80864756) × cos(-0.68153453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776606901863404 × 6371000     		du = 237.195737690582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68149730)-sin(-0.68153453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776630355685044-0.776606901863404)×R²
    abs(-0.80864756--0.80869550)×2.34538216403735e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34538216403735e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34538216403735e-05×40589641000000     		ar = 56261.8592473584m²