Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4866 / 3558
↖ ↑ ↗
← N 22.998851°
E 33.837890°		 ← 4 498.08 m → N 22.998851°
E 33.881836°		 →
↑
4 498.75 m
↓
↑
4 498.75 m
↓
N 22.958393°
E 33.837890°		 ← 4 499.43 m →
20 238 783 m²		 N 22.958393°
E 33.881836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59405517578125 y=0.43438720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59405517578125 × 213)
    floor (0.59405517578125 × 8192)
    floor (4866.5)     		tx = 4866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43438720703125 × 213)
    floor (0.43438720703125 × 8192)
    floor (3558.5)     		ty = 3558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4866 / 3558 ti = "13/4866/3558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4866/3558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4866 ÷ 213
    4866 ÷ 8192     		x = 0.593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3558 ÷ 213
    3558 ÷ 8192     		y = 0.434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593994140625 × 2 - 1) × π
    0.18798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59058260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434326171875 × 2 - 1) × π
    0.13134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.412640831929443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59058260} λ = 0.59058260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.412640831929443))-π/2
    2×atan(1.51080229652845)-π/2
    2×0.98610100563969-π/2
    1.97220201127938-1.57079632675     		φ = 0.40140568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59058260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.837890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40140568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.998851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4866 KachelY 3558 0.59058260 0.40140568 33.837890 22.998851
    Oben rechts KachelX + 1 4867 KachelY 3558 0.59134959 0.40140568 33.881836 22.998851
    Unten links KachelX 4866 KachelY + 1 3559 0.59058260 0.40069955 33.837890 22.958393
    Unten rechts KachelX + 1 4867 KachelY + 1 3559 0.59134959 0.40069955 33.881836 22.958393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40140568-0.40069955) × R
    0.000706129999999972 × 6371000     		dl = 4498.75422999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40140568-0.40069955) × R
    0.000706129999999972 × 6371000     		dr = 4498.75422999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59058260-0.59134959) × cos(0.40140568) × R
    0.000766990000000023 × 0.92051268662898 × 6371000     		do = 4498.07906657252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59058260-0.59134959) × cos(0.40069955) × R
    0.000766990000000023 × 0.920788351053848 × 6371000     		du = 4499.42609893493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40140568)-sin(0.40069955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92051268662898-0.920788351053848)×R²
    abs(0.59134959-0.59058260)×0.000275664424868483×R²
    0.000766990000000023×0.000275664424868483×6371000²
    0.000766990000000023×0.000275664424868483×40589641000000     		ar = 20238783.0523409m²