Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48659 / 50698
↖ ↑ ↗
← S 69.676174°
E 87.291870°		 ← 212.16 m → S 69.676174°
E 87.297363°		 →
↑
212.09 m
↓
↑
212.09 m
↓
S 69.678082°
E 87.291870°		 ← 212.15 m →
44 996 m²		 S 69.678082°
E 87.297363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742485046386719 y=0.773597717285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742485046386719 × 216)
    floor (0.742485046386719 × 65536)
    floor (48659.5)     		tx = 48659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773597717285156 × 216)
    floor (0.773597717285156 × 65536)
    floor (50698.5)     		ty = 50698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48659 / 50698 ti = "16/48659/50698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48659/50698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48659 ÷ 216
    48659 ÷ 65536     		x = 0.742477416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50698 ÷ 216
    50698 ÷ 65536     		y = 0.773590087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742477416992188 × 2 - 1) × π
    0.484954833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52353054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773590087890625 × 2 - 1) × π
    -0.54718017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71901722037521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52353054} λ = 1.52353054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71901722037521))-π/2
    2×atan(0.179242216977523)-π/2
    2×0.177358839995973-π/2
    0.354717679991946-1.57079632675     		φ = -1.21607865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52353054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.291870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21607865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.676174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48659 KachelY 50698 1.52353054 -1.21607865 87.291870 -69.676174
    Oben rechts KachelX + 1 48660 KachelY 50698 1.52362642 -1.21607865 87.297363 -69.676174
    Unten links KachelX 48659 KachelY + 1 50699 1.52353054 -1.21611194 87.291870 -69.678082
    Unten rechts KachelX + 1 48660 KachelY + 1 50699 1.52362642 -1.21611194 87.297363 -69.678082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21607865--1.21611194) × R
    3.32899999999636e-05 × 6371000     		dl = 212.090589999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21607865--1.21611194) × R
    3.32899999999636e-05 × 6371000     		dr = 212.090589999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52353054-1.52362642) × cos(-1.21607865) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.347325632024737 × 6371000     		do = 212.164376364107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52353054-1.52362642) × cos(-1.21611194) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.347294414315075 × 6371000     		du = 212.145306979957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21607865)-sin(-1.21611194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347325632024737-0.347294414315075)×R²
    abs(1.52362642-1.52353054)×3.12177096620792e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.12177096620792e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.12177096620792e-05×40589641000000     		ar = 44996.0455454142m²