Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48658 / 81740
↖ ↑ ↗
← S 40.605612°
W 46.356811°		 ← 231.88 m → S 40.605612°
W 46.354065°		 →
↑
231.84 m
↓
↑
231.84 m
↓
S 40.607697°
W 46.356811°		 ← 231.87 m →
53 759 m²		 S 40.607697°
W 46.354065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371234893798828 y=0.623630523681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371234893798828 × 217)
    floor (0.371234893798828 × 131072)
    floor (48658.5)     		tx = 48658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623630523681641 × 217)
    floor (0.623630523681641 × 131072)
    floor (81740.5)     		ty = 81740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48658 / 81740 ti = "17/48658/81740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48658/81740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48658 ÷ 217
    48658 ÷ 131072     		x = 0.371231079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81740 ÷ 217
    81740 ÷ 131072     		y = 0.623626708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371231079101562 × 2 - 1) × π
    -0.257537841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80907899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623626708984375 × 2 - 1) × π
    -0.24725341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.77676952144339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80907899} λ = -0.80907899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.77676952144339))-π/2
    2×atan(0.459889276633439)-π/2
    2×0.4310473508038-π/2
    0.862094701607601-1.57079632675     		φ = -0.70870163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80907899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.356811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70870163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.605612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48658 KachelY 81740 -0.80907899 -0.70870163 -46.356811 -40.605612
    Oben rechts KachelX + 1 48659 KachelY 81740 -0.80903105 -0.70870163 -46.354065 -40.605612
    Unten links KachelX 48658 KachelY + 1 81741 -0.80907899 -0.70873802 -46.356811 -40.607697
    Unten rechts KachelX + 1 48659 KachelY + 1 81741 -0.80903105 -0.70873802 -46.354065 -40.607697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70870163--0.70873802) × R
    3.63899999999973e-05 × 6371000     		dl = 231.840689999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70870163--0.70873802) × R
    3.63899999999973e-05 × 6371000     		dr = 231.840689999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80907899--0.80903105) × cos(-0.70870163) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.759207557956272 × 6371000     		do = 231.881530202772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80907899--0.80903105) × cos(-0.70873802) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.759183873073492 × 6371000     		du = 231.874296229922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70870163)-sin(-0.70873802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759207557956272-0.759183873073492)×R²
    abs(-0.80903105--0.80907899)×2.36848827799285e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.36848827799285e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.36848827799285e-05×40589641000000     		ar = 53758.7354016838m²