Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48655 / 81105
↖ ↑ ↗
← S 39.268411°
W 46.365051°		 ← 236.41 m → S 39.268411°
W 46.362305°		 →
↑
236.43 m
↓
↑
236.43 m
↓
S 39.270537°
W 46.365051°		 ← 236.40 m →
55 893 m²		 S 39.270537°
W 46.362305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371212005615234 y=0.618785858154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371212005615234 × 217)
    floor (0.371212005615234 × 131072)
    floor (48655.5)     		tx = 48655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618785858154297 × 217)
    floor (0.618785858154297 × 131072)
    floor (81105.5)     		ty = 81105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48655 / 81105 ti = "17/48655/81105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48655/81105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48655 ÷ 217
    48655 ÷ 131072     		x = 0.371208190917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81105 ÷ 217
    81105 ÷ 131072     		y = 0.618782043457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371208190917969 × 2 - 1) × π
    -0.257583618164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.80922280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618782043457031 × 2 - 1) × π
    -0.237564086914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.746329590184654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80922280} λ = -0.80922280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746329590184654))-π/2
    2×atan(0.474103517308517)-π/2
    2×0.442716632911511-π/2
    0.885433265823022-1.57079632675     		φ = -0.68536306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80922280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.365051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68536306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.268411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48655 KachelY 81105 -0.80922280 -0.68536306 -46.365051 -39.268411
    Oben rechts KachelX + 1 48656 KachelY 81105 -0.80917487 -0.68536306 -46.362305 -39.268411
    Unten links KachelX 48655 KachelY + 1 81106 -0.80922280 -0.68540017 -46.365051 -39.270537
    Unten rechts KachelX + 1 48656 KachelY + 1 81106 -0.80917487 -0.68540017 -46.362305 -39.270537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68536306--0.68540017) × R
    3.71099999999513e-05 × 6371000     		dl = 236.42780999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68536306--0.68540017) × R
    3.71099999999513e-05 × 6371000     		dr = 236.42780999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80922280--0.80917487) × cos(-0.68536306) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.774189297794344 × 6371000     		do = 236.4080155789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80922280--0.80917487) × cos(-0.68540017) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.774165808333483 × 6371000     		du = 236.400842789448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68536306)-sin(-0.68540017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774189297794344-0.774165808333483)×R²
    abs(-0.80917487--0.80922280)×2.34894608616143e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34894608616143e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34894608616143e-05×40589641000000     		ar = 55892.5814726892m²