Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48655 / 50818
↖ ↑ ↗
← S 69.903893°
E 87.269898°		 ← 209.86 m → S 69.903893°
E 87.275390°		 →
↑
209.86 m
↓
↑
209.86 m
↓
S 69.905780°
E 87.269898°		 ← 209.85 m →
44 040 m²		 S 69.905780°
E 87.275390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742424011230469 y=0.775428771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742424011230469 × 216)
    floor (0.742424011230469 × 65536)
    floor (48655.5)     		tx = 48655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775428771972656 × 216)
    floor (0.775428771972656 × 65536)
    floor (50818.5)     		ty = 50818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48655 / 50818 ti = "16/48655/50818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48655/50818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48655 ÷ 216
    48655 ÷ 65536     		x = 0.742416381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50818 ÷ 216
    50818 ÷ 65536     		y = 0.775421142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742416381835938 × 2 - 1) × π
    0.484832763671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.52314705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775421142578125 × 2 - 1) × π
    -0.55084228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73052207628403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52314705} λ = 1.52314705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73052207628403))-π/2
    2×atan(0.177191878140343)-π/2
    2×0.175371618538011-π/2
    0.350743237076022-1.57079632675     		φ = -1.22005309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52314705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.269898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22005309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.903893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48655 KachelY 50818 1.52314705 -1.22005309 87.269898 -69.903893
    Oben rechts KachelX + 1 48656 KachelY 50818 1.52324292 -1.22005309 87.275390 -69.903893
    Unten links KachelX 48655 KachelY + 1 50819 1.52314705 -1.22008603 87.269898 -69.905780
    Unten rechts KachelX + 1 48656 KachelY + 1 50819 1.52324292 -1.22008603 87.275390 -69.905780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22005309--1.22008603) × R
    3.29400000000923e-05 × 6371000     		dl = 209.860740000588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22005309--1.22008603) × R
    3.29400000000923e-05 × 6371000     		dr = 209.860740000588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52314705-1.52324292) × cos(-1.22005309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343595889046952 × 6371000     		do = 209.864166852151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52314705-1.52324292) × cos(-1.22008603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343564954326834 × 6371000     		du = 209.845272303434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22005309)-sin(-1.22008603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343595889046952-0.343564954326834)×R²
    abs(1.52324292-1.52314705)×3.09347201187249e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09347201187249e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09347201187249e-05×40589641000000     		ar = 44040.2667473007m²