Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48654 / 50841
↖ ↑ ↗
← S 69.947259°
E 87.264404°		 ← 209.45 m → S 69.947259°
E 87.269898°		 →
↑
209.41 m
↓
↑
209.41 m
↓
S 69.949142°
E 87.264404°		 ← 209.43 m →
43 860 m²		 S 69.949142°
E 87.269898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742408752441406 y=0.775779724121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742408752441406 × 216)
    floor (0.742408752441406 × 65536)
    floor (48654.5)     		tx = 48654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775779724121094 × 216)
    floor (0.775779724121094 × 65536)
    floor (50841.5)     		ty = 50841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48654 / 50841 ti = "16/48654/50841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48654/50841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48654 ÷ 216
    48654 ÷ 65536     		x = 0.742401123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50841 ÷ 216
    50841 ÷ 65536     		y = 0.775772094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742401123046875 × 2 - 1) × π
    0.48480224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52305117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775772094726562 × 2 - 1) × π
    -0.551544189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73272717366655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52305117} λ = 1.52305117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73272717366655))-π/2
    2×atan(0.176801583270899)-π/2
    2×0.174993179355946-π/2
    0.349986358711893-1.57079632675     		φ = -1.22080997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52305117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.264404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22080997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.947259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48654 KachelY 50841 1.52305117 -1.22080997 87.264404 -69.947259
    Oben rechts KachelX + 1 48655 KachelY 50841 1.52314705 -1.22080997 87.269898 -69.947259
    Unten links KachelX 48654 KachelY + 1 50842 1.52305117 -1.22084284 87.264404 -69.949142
    Unten rechts KachelX + 1 48655 KachelY + 1 50842 1.52314705 -1.22084284 87.269898 -69.949142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22080997--1.22084284) × R
    3.28700000000737e-05 × 6371000     		dl = 209.414770000469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22080997--1.22084284) × R
    3.28700000000737e-05 × 6371000     		dr = 209.414770000469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52305117-1.52314705) × cos(-1.22080997) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.342884991368949 × 6371000     		do = 209.451804447372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52305117-1.52314705) × cos(-1.22084284) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.34285411384888 × 6371000     		du = 209.432942868539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22080997)-sin(-1.22084284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342884991368949-0.34285411384888)×R²
    abs(1.52314705-1.52305117)×3.08775200689726e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.08775200689726e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.08775200689726e-05×40589641000000     		ar = 43860.3265117522m²