Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48650 / 50706
↖ ↑ ↗
← S 69.691432°
E 87.242432°		 ← 211.99 m → S 69.691432°
E 87.247925°		 →
↑
211.96 m
↓
↑
211.96 m
↓
S 69.693338°
E 87.242432°		 ← 211.97 m →
44 932 m²		 S 69.693338°
E 87.247925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742347717285156 y=0.773719787597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742347717285156 × 216)
    floor (0.742347717285156 × 65536)
    floor (48650.5)     		tx = 48650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773719787597656 × 216)
    floor (0.773719787597656 × 65536)
    floor (50706.5)     		ty = 50706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48650 / 50706 ti = "16/48650/50706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48650/50706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48650 ÷ 216
    48650 ÷ 65536     		x = 0.742340087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50706 ÷ 216
    50706 ÷ 65536     		y = 0.773712158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742340087890625 × 2 - 1) × π
    0.48468017578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.52266768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773712158203125 × 2 - 1) × π
    -0.54742431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71978421076913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52266768} λ = 1.52266768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71978421076913))-π/2
    2×atan(0.179104792627232)-π/2
    2×0.177225690173887-π/2
    0.354451380347773-1.57079632675     		φ = -1.21634495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52266768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.242432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21634495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.691432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48650 KachelY 50706 1.52266768 -1.21634495 87.242432 -69.691432
    Oben rechts KachelX + 1 48651 KachelY 50706 1.52276355 -1.21634495 87.247925 -69.691432
    Unten links KachelX 48650 KachelY + 1 50707 1.52266768 -1.21637822 87.242432 -69.693338
    Unten rechts KachelX + 1 48651 KachelY + 1 50707 1.52276355 -1.21637822 87.247925 -69.693338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21634495--1.21637822) × R
    3.32699999998631e-05 × 6371000     		dl = 211.963169999128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21634495--1.21637822) × R
    3.32699999998631e-05 × 6371000     		dr = 211.963169999128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52266768-1.52276355) × cos(-1.21634495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347075898329477 × 6371000     		do = 211.989713961403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52266768-1.52276355) × cos(-1.21637822) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347044696298946 × 6371000     		du = 211.970656142756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21634495)-sin(-1.21637822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347075898329477-0.347044696298946)×R²
    abs(1.52276355-1.52266768)×3.1202030530586e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1202030530586e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1202030530586e-05×40589641000000     		ar = 44931.9920049837m²