Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48644 / 50876
↖ ↑ ↗
← S 70.013079°
E 87.209473°		 ← 208.77 m → S 70.013079°
E 87.214966°		 →
↑
208.71 m
↓
↑
208.71 m
↓
S 70.014956°
E 87.209473°		 ← 208.75 m →
43 571 m²		 S 70.014956°
E 87.214966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742256164550781 y=0.776313781738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742256164550781 × 216)
    floor (0.742256164550781 × 65536)
    floor (48644.5)     		tx = 48644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776313781738281 × 216)
    floor (0.776313781738281 × 65536)
    floor (50876.5)     		ty = 50876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48644 / 50876 ti = "16/48644/50876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48644/50876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48644 ÷ 216
    48644 ÷ 65536     		x = 0.74224853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50876 ÷ 216
    50876 ÷ 65536     		y = 0.77630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74224853515625 × 2 - 1) × π
    0.4844970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.52209244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.5526123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73608275663995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52209244} λ = 1.52209244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73608275663995))-π/2
    2×atan(0.176209305163322)-π/2
    2×0.17441879570994-π/2
    0.348837591419879-1.57079632675     		φ = -1.22195874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52209244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.209473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22195874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.013079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48644 KachelY 50876 1.52209244 -1.22195874 87.209473 -70.013079
    Oben rechts KachelX + 1 48645 KachelY 50876 1.52218831 -1.22195874 87.214966 -70.013079
    Unten links KachelX 48644 KachelY + 1 50877 1.52209244 -1.22199150 87.209473 -70.014956
    Unten rechts KachelX + 1 48645 KachelY + 1 50877 1.52218831 -1.22199150 87.214966 -70.014956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22195874--1.22199150) × R
    3.2759999999854e-05 × 6371000     		dl = 208.71395999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22195874--1.22199150) × R
    3.2759999999854e-05 × 6371000     		dr = 208.71395999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52209244-1.52218831) × cos(-1.22195874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341805636792932 × 6371000     		do = 208.77070267018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52209244-1.52218831) × cos(-1.22199150) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341774849722469 × 6371000     		du = 208.751898304067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22195874)-sin(-1.22199150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341805636792932-0.341774849722469)×R²
    abs(1.52218831-1.52209244)×3.07870704630009e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07870704630009e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07870704630009e-05×40589641000000     		ar = 43571.397723022m²