Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48643 / 50695
↖ ↑ ↗
← S 69.670450°
E 87.203979°		 ← 212.22 m → S 69.670450°
E 87.209473°		 →
↑
212.15 m
↓
↑
212.15 m
↓
S 69.672358°
E 87.203979°		 ← 212.20 m →
45 022 m²		 S 69.672358°
E 87.209473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742240905761719 y=0.773551940917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742240905761719 × 216)
    floor (0.742240905761719 × 65536)
    floor (48643.5)     		tx = 48643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773551940917969 × 216)
    floor (0.773551940917969 × 65536)
    floor (50695.5)     		ty = 50695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48643 / 50695 ti = "16/48643/50695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48643/50695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48643 ÷ 216
    48643 ÷ 65536     		x = 0.742233276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50695 ÷ 216
    50695 ÷ 65536     		y = 0.773544311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742233276367188 × 2 - 1) × π
    0.484466552734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52199656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773544311523438 × 2 - 1) × π
    -0.547088623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71872959897749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52199656} λ = 1.52199656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71872959897749))-π/2
    2×atan(0.179293778289214)-π/2
    2×0.177408795874827-π/2
    0.354817591749654-1.57079632675     		φ = -1.21597874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52199656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.203979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21597874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.670450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48643 KachelY 50695 1.52199656 -1.21597874 87.203979 -69.670450
    Oben rechts KachelX + 1 48644 KachelY 50695 1.52209244 -1.21597874 87.209473 -69.670450
    Unten links KachelX 48643 KachelY + 1 50696 1.52199656 -1.21601204 87.203979 -69.672358
    Unten rechts KachelX + 1 48644 KachelY + 1 50696 1.52209244 -1.21601204 87.209473 -69.672358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21597874--1.21601204) × R
    3.33000000001249e-05 × 6371000     		dl = 212.154300000796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21597874--1.21601204) × R
    3.33000000001249e-05 × 6371000     		dr = 212.154300000796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52199656-1.52209244) × cos(-1.21597874) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.347419320352492 × 6371000     		do = 212.221606017775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52199656-1.52209244) × cos(-1.21601204) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.347388094420926 × 6371000     		du = 212.202531611263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21597874)-sin(-1.21601204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347419320352492-0.347388094420926)×R²
    abs(1.52209244-1.52199656)×3.12259315663477e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.12259315663477e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.12259315663477e-05×40589641000000     		ar = 45021.7029151656m²