Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48642 / 50702
↖ ↑ ↗
← S 69.683804°
E 87.198486°		 ← 212.07 m → S 69.683804°
E 87.203979°		 →
↑
212.09 m
↓
↑
212.09 m
↓
S 69.685712°
E 87.198486°		 ← 212.05 m →
44 975 m²		 S 69.685712°
E 87.203979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742225646972656 y=0.773658752441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742225646972656 × 216)
    floor (0.742225646972656 × 65536)
    floor (48642.5)     		tx = 48642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773658752441406 × 216)
    floor (0.773658752441406 × 65536)
    floor (50702.5)     		ty = 50702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48642 / 50702 ti = "16/48642/50702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48642/50702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48642 ÷ 216
    48642 ÷ 65536     		x = 0.742218017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50702 ÷ 216
    50702 ÷ 65536     		y = 0.773651123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742218017578125 × 2 - 1) × π
    0.48443603515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.52190069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773651123046875 × 2 - 1) × π
    -0.54730224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71940071557217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52190069} λ = 1.52190069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71940071557217))-π/2
    2×atan(0.179173491626983)-π/2
    2×0.177292253113487-π/2
    0.354584506226974-1.57079632675     		φ = -1.21621182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52190069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.198486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21621182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.683804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48642 KachelY 50702 1.52190069 -1.21621182 87.198486 -69.683804
    Oben rechts KachelX + 1 48643 KachelY 50702 1.52199656 -1.21621182 87.203979 -69.683804
    Unten links KachelX 48642 KachelY + 1 50703 1.52190069 -1.21624511 87.198486 -69.685712
    Unten rechts KachelX + 1 48643 KachelY + 1 50703 1.52199656 -1.21624511 87.203979 -69.685712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21621182--1.21624511) × R
    3.32899999999636e-05 × 6371000     		dl = 212.090589999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21621182--1.21624511) × R
    3.32899999999636e-05 × 6371000     		dr = 212.090589999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52190069-1.52199656) × cos(-1.21621182) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347200749499038 × 6371000     		do = 212.065971528841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52190069-1.52199656) × cos(-1.21624511) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347169530249948 × 6371000     		du = 212.046903193309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21621182)-sin(-1.21624511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347200749499038-0.347169530249948)×R²
    abs(1.52199656-1.52190069)×3.12192490902197e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12192490902197e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12192490902197e-05×40589641000000     		ar = 44975.1749175056m²