Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48639 / 50709
↖ ↑ ↗
← S 69.697151°
E 87.182007°		 ← 211.93 m → S 69.697151°
E 87.187500°		 →
↑
211.90 m
↓
↑
211.90 m
↓
S 69.699056°
E 87.182007°		 ← 211.91 m →
44 906 m²		 S 69.699056°
E 87.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742179870605469 y=0.773765563964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742179870605469 × 216)
    floor (0.742179870605469 × 65536)
    floor (48639.5)     		tx = 48639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773765563964844 × 216)
    floor (0.773765563964844 × 65536)
    floor (50709.5)     		ty = 50709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48639 / 50709 ti = "16/48639/50709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48639/50709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48639 ÷ 216
    48639 ÷ 65536     		x = 0.742172241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50709 ÷ 216
    50709 ÷ 65536     		y = 0.773757934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742172241210938 × 2 - 1) × π
    0.484344482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.52161307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773757934570312 × 2 - 1) × π
    -0.547515869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72007183216685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52161307} λ = 1.52161307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72007183216685))-π/2
    2×atan(0.179053285664045)-π/2
    2×0.177175783677236-π/2
    0.354351567354472-1.57079632675     		φ = -1.21644476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52161307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.182007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21644476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.697151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48639 KachelY 50709 1.52161307 -1.21644476 87.182007 -69.697151
    Oben rechts KachelX + 1 48640 KachelY 50709 1.52170894 -1.21644476 87.187500 -69.697151
    Unten links KachelX 48639 KachelY + 1 50710 1.52161307 -1.21647802 87.182007 -69.699056
    Unten rechts KachelX + 1 48640 KachelY + 1 50710 1.52170894 -1.21647802 87.187500 -69.699056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21644476--1.21647802) × R
    3.3260000000146e-05 × 6371000     		dl = 211.89946000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21644476--1.21647802) × R
    3.3260000000146e-05 × 6371000     		dr = 211.89946000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52161307-1.52170894) × cos(-1.21644476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346982291085496 × 6371000     		do = 211.932539801596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52161307-1.52170894) × cos(-1.21647802) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346951097281477 × 6371000     		du = 211.913487007602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21644476)-sin(-1.21647802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346982291085496-0.346951097281477)×R²
    abs(1.52170894-1.52161307)×3.11938040189474e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11938040189474e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11938040189474e-05×40589641000000     		ar = 44906.3721064564m²