Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48634 / 50862
↖ ↑ ↗
← S 69.986775°
E 87.154541°		 ← 209.03 m → S 69.986775°
E 87.160034°		 →
↑
209.03 m
↓
↑
209.03 m
↓
S 69.988655°
E 87.154541°		 ← 209.02 m →
43 693 m²		 S 69.988655°
E 87.160034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742103576660156 y=0.776100158691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742103576660156 × 216)
    floor (0.742103576660156 × 65536)
    floor (48634.5)     		tx = 48634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776100158691406 × 216)
    floor (0.776100158691406 × 65536)
    floor (50862.5)     		ty = 50862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48634 / 50862 ti = "16/48634/50862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48634/50862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48634 ÷ 216
    48634 ÷ 65536     		x = 0.742095947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50862 ÷ 216
    50862 ÷ 65536     		y = 0.776092529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742095947265625 × 2 - 1) × π
    0.48419189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.52113370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776092529296875 × 2 - 1) × π
    -0.55218505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73474052345059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52113370} λ = 1.52113370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73474052345059))-π/2
    2×atan(0.176445977940482)-π/2
    2×0.174648331876845-π/2
    0.349296663753691-1.57079632675     		φ = -1.22149966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52113370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.154541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22149966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.986775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48634 KachelY 50862 1.52113370 -1.22149966 87.154541 -69.986775
    Oben rechts KachelX + 1 48635 KachelY 50862 1.52122957 -1.22149966 87.160034 -69.986775
    Unten links KachelX 48634 KachelY + 1 50863 1.52113370 -1.22153247 87.154541 -69.988655
    Unten rechts KachelX + 1 48635 KachelY + 1 50863 1.52122957 -1.22153247 87.160034 -69.988655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22149966--1.22153247) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dl = 209.032509999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22149966--1.22153247) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dr = 209.032509999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52113370-1.52122957) × cos(-1.22149966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342237030677081 × 6371000     		do = 209.034192778671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52113370-1.52122957) × cos(-1.22153247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342206201768959 × 6371000     		du = 209.015362858628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22149966)-sin(-1.22153247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342237030677081-0.342206201768959)×R²
    abs(1.52122957-1.52113370)×3.08289081216162e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08289081216162e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08289081216162e-05×40589641000000     		ar = 43692.973963792m²