Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48634 / 50665
↖ ↑ ↗
← S 69.613119°
E 87.154541°		 ← 212.77 m → S 69.613119°
E 87.160034°		 →
↑
212.79 m
↓
↑
212.79 m
↓
S 69.615033°
E 87.154541°		 ← 212.75 m →
45 274 m²		 S 69.615033°
E 87.160034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742103576660156 y=0.773094177246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742103576660156 × 216)
    floor (0.742103576660156 × 65536)
    floor (48634.5)     		tx = 48634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773094177246094 × 216)
    floor (0.773094177246094 × 65536)
    floor (50665.5)     		ty = 50665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48634 / 50665 ti = "16/48634/50665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48634/50665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48634 ÷ 216
    48634 ÷ 65536     		x = 0.742095947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50665 ÷ 216
    50665 ÷ 65536     		y = 0.773086547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742095947265625 × 2 - 1) × π
    0.48419189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.52113370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773086547851562 × 2 - 1) × π
    -0.546173095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71585338500029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52113370} λ = 1.52113370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71585338500029))-π/2
    2×atan(0.179810207885348)-π/2
    2×0.177909096316215-π/2
    0.35581819263243-1.57079632675     		φ = -1.21497813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52113370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.154541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21497813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.613119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48634 KachelY 50665 1.52113370 -1.21497813 87.154541 -69.613119
    Oben rechts KachelX + 1 48635 KachelY 50665 1.52122957 -1.21497813 87.160034 -69.613119
    Unten links KachelX 48634 KachelY + 1 50666 1.52113370 -1.21501153 87.154541 -69.615033
    Unten rechts KachelX + 1 48635 KachelY + 1 50666 1.52122957 -1.21501153 87.160034 -69.615033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21497813--1.21501153) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dl = 212.791399999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21497813--1.21501153) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dr = 212.791399999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52113370-1.52122957) × cos(-1.21497813) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348357428155602 × 6371000     		do = 212.772456706091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52113370-1.52122957) × cos(-1.21501153) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348326120077927 × 6371000     		du = 212.753334115145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21497813)-sin(-1.21501153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348357428155602-0.348326120077927)×R²
    abs(1.52122957-1.52113370)×3.13080776753183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13080776753183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13080776753183e-05×40589641000000     		ar = 45274.1143865671m²