Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48633 / 50839
↖ ↑ ↗
← S 69.943491°
E 87.149048°		 ← 209.49 m → S 69.943491°
E 87.154541°		 →
↑
209.48 m
↓
↑
209.48 m
↓
S 69.945375°
E 87.149048°		 ← 209.47 m →
43 882 m²		 S 69.945375°
E 87.154541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742088317871094 y=0.775749206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742088317871094 × 216)
    floor (0.742088317871094 × 65536)
    floor (48633.5)     		tx = 48633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775749206542969 × 216)
    floor (0.775749206542969 × 65536)
    floor (50839.5)     		ty = 50839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48633 / 50839 ti = "16/48633/50839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48633/50839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48633 ÷ 216
    48633 ÷ 65536     		x = 0.742080688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50839 ÷ 216
    50839 ÷ 65536     		y = 0.775741577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742080688476562 × 2 - 1) × π
    0.484161376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.52103782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775741577148438 × 2 - 1) × π
    -0.551483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73253542606807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52103782} λ = 1.52103782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73253542606807))-π/2
    2×atan(0.17683548780035)-π/2
    2×0.175026056003757-π/2
    0.350052112007515-1.57079632675     		φ = -1.22074421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52103782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.149048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22074421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.943491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48633 KachelY 50839 1.52103782 -1.22074421 87.149048 -69.943491
    Oben rechts KachelX + 1 48634 KachelY 50839 1.52113370 -1.22074421 87.154541 -69.943491
    Unten links KachelX 48633 KachelY + 1 50840 1.52103782 -1.22077709 87.149048 -69.945375
    Unten rechts KachelX + 1 48634 KachelY + 1 50840 1.52113370 -1.22077709 87.154541 -69.945375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22074421--1.22077709) × R
    3.28799999997909e-05 × 6371000     		dl = 209.478479998668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22074421--1.22077709) × R
    3.28799999997909e-05 × 6371000     		dr = 209.478479998668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52103782-1.52113370) × cos(-1.22074421) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.342946764084753 × 6371000     		do = 209.489538402245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52103782-1.52113370) × cos(-1.22077709) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.342915877912213 × 6371000     		du = 209.470671538038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22074421)-sin(-1.22077709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342946764084753-0.342915877912213)×R²
    abs(1.52113370-1.52103782)×3.0886172539879e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.0886172539879e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.0886172539879e-05×40589641000000     		ar = 43881.5739829069m²