Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48633 / 50674
↖ ↑ ↗
← S 69.630335°
E 87.149048°		 ← 212.62 m → S 69.630335°
E 87.154541°		 →
↑
212.60 m
↓
↑
212.60 m
↓
S 69.632247°
E 87.149048°		 ← 212.60 m →
45 202 m²		 S 69.632247°
E 87.154541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742088317871094 y=0.773231506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742088317871094 × 216)
    floor (0.742088317871094 × 65536)
    floor (48633.5)     		tx = 48633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773231506347656 × 216)
    floor (0.773231506347656 × 65536)
    floor (50674.5)     		ty = 50674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48633 / 50674 ti = "16/48633/50674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48633/50674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48633 ÷ 216
    48633 ÷ 65536     		x = 0.742080688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50674 ÷ 216
    50674 ÷ 65536     		y = 0.773223876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742080688476562 × 2 - 1) × π
    0.484161376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.52103782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773223876953125 × 2 - 1) × π
    -0.54644775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71671624919345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52103782} λ = 1.52103782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71671624919345))-π/2
    2×atan(0.179655123013612)-π/2
    2×0.1777588645077-π/2
    0.355517729015401-1.57079632675     		φ = -1.21527860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52103782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.149048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21527860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.630335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48633 KachelY 50674 1.52103782 -1.21527860 87.149048 -69.630335
    Oben rechts KachelX + 1 48634 KachelY 50674 1.52113370 -1.21527860 87.154541 -69.630335
    Unten links KachelX 48633 KachelY + 1 50675 1.52103782 -1.21531197 87.149048 -69.632247
    Unten rechts KachelX + 1 48634 KachelY + 1 50675 1.52113370 -1.21531197 87.154541 -69.632247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21527860--1.21531197) × R
    3.33699999999215e-05 × 6371000     		dl = 212.6002699995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21527860--1.21531197) × R
    3.33699999999215e-05 × 6371000     		dr = 212.6002699995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52103782-1.52113370) × cos(-1.21527860) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.348075763341261 × 6371000     		do = 212.622595189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52103782-1.52113370) × cos(-1.21531197) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.348044479893487 × 6371000     		du = 212.603485648627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21527860)-sin(-1.21531197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348075763341261-0.348044479893487)×R²
    abs(1.52113370-1.52103782)×3.12834477740331e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.12834477740331e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.12834477740331e-05×40589641000000     		ar = 45201.5898027098m²