Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48632 / 50666
↖ ↑ ↗
← S 69.615033°
E 87.143555°		 ← 212.75 m → S 69.615033°
E 87.149048°		 →
↑
212.73 m
↓
↑
212.73 m
↓
S 69.616946°
E 87.143555°		 ← 212.73 m →
45 256 m²		 S 69.616946°
E 87.149048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742073059082031 y=0.773109436035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742073059082031 × 216)
    floor (0.742073059082031 × 65536)
    floor (48632.5)     		tx = 48632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773109436035156 × 216)
    floor (0.773109436035156 × 65536)
    floor (50666.5)     		ty = 50666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48632 / 50666 ti = "16/48632/50666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48632/50666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48632 ÷ 216
    48632 ÷ 65536     		x = 0.7420654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50666 ÷ 216
    50666 ÷ 65536     		y = 0.773101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7420654296875 × 2 - 1) × π
    0.484130859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52094195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773101806640625 × 2 - 1) × π
    -0.54620361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71594925879953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52094195} λ = 1.52094195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71594925879953))-π/2
    2×atan(0.179792969623938)-π/2
    2×0.177892397891682-π/2
    0.355784795783363-1.57079632675     		φ = -1.21501153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52094195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.143555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21501153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.615033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48632 KachelY 50666 1.52094195 -1.21501153 87.143555 -69.615033
    Oben rechts KachelX + 1 48633 KachelY 50666 1.52103782 -1.21501153 87.149048 -69.615033
    Unten links KachelX 48632 KachelY + 1 50667 1.52094195 -1.21504492 87.143555 -69.616946
    Unten rechts KachelX + 1 48633 KachelY + 1 50667 1.52103782 -1.21504492 87.149048 -69.616946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21501153--1.21504492) × R
    3.3390000000022e-05 × 6371000     		dl = 212.72769000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21501153--1.21504492) × R
    3.3390000000022e-05 × 6371000     		dr = 212.72769000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52094195-1.52103782) × cos(-1.21501153) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348326120077927 × 6371000     		do = 212.753334115145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52094195-1.52103782) × cos(-1.21504492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348294820985523 × 6371000     		du = 212.734217012292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21501153)-sin(-1.21504492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348326120077927-0.348294820985523)×R²
    abs(1.52103782-1.52094195)×3.12990924036805e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12990924036805e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12990924036805e-05×40589641000000     		ar = 45256.4919415827m²