Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48631 / 50731
↖ ↑ ↗
← S 69.739042°
E 87.138062°		 ← 211.51 m → S 69.739042°
E 87.143555°		 →
↑
211.52 m
↓
↑
211.52 m
↓
S 69.740944°
E 87.138062°		 ← 211.49 m →
44 737 m²		 S 69.740944°
E 87.143555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742057800292969 y=0.774101257324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742057800292969 × 216)
    floor (0.742057800292969 × 65536)
    floor (48631.5)     		tx = 48631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774101257324219 × 216)
    floor (0.774101257324219 × 65536)
    floor (50731.5)     		ty = 50731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48631 / 50731 ti = "16/48631/50731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48631/50731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48631 ÷ 216
    48631 ÷ 65536     		x = 0.742050170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50731 ÷ 216
    50731 ÷ 65536     		y = 0.774093627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742050170898438 × 2 - 1) × π
    0.484100341796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.52084608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774093627929688 × 2 - 1) × π
    -0.548187255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72218105575014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52084608} λ = 1.52084608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72218105575014))-π/2
    2×atan(0.178676020259668)-π/2
    2×0.176810213794554-π/2
    0.353620427589108-1.57079632675     		φ = -1.21717590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52084608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.138062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21717590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.739042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48631 KachelY 50731 1.52084608 -1.21717590 87.138062 -69.739042
    Oben rechts KachelX + 1 48632 KachelY 50731 1.52094195 -1.21717590 87.143555 -69.739042
    Unten links KachelX 48631 KachelY + 1 50732 1.52084608 -1.21720910 87.138062 -69.740944
    Unten rechts KachelX + 1 48632 KachelY + 1 50732 1.52094195 -1.21720910 87.143555 -69.740944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21717590--1.21720910) × R
    3.32000000000665e-05 × 6371000     		dl = 211.517200000424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21717590--1.21720910) × R
    3.32000000000665e-05 × 6371000     		dr = 211.517200000424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52084608-1.52094195) × cos(-1.21717590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346296482903467 × 6371000     		do = 211.513656551447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52084608-1.52094195) × cos(-1.21720910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346265336958547 × 6371000     		du = 211.494632989205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21717590)-sin(-1.21720910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346296482903467-0.346265336958547)×R²
    abs(1.52094195-1.52084608)×3.11459449204299e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11459449204299e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11459449204299e-05×40589641000000     		ar = 44736.7644940136m²