Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48630 / 50940
↖ ↑ ↗
← S 70.132898°
E 87.132568°		 ← 207.59 m → S 70.132898°
E 87.138062°		 →
↑
207.57 m
↓
↑
207.57 m
↓
S 70.134765°
E 87.132568°		 ← 207.57 m →
43 087 m²		 S 70.134765°
E 87.138062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742042541503906 y=0.777290344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742042541503906 × 216)
    floor (0.742042541503906 × 65536)
    floor (48630.5)     		tx = 48630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777290344238281 × 216)
    floor (0.777290344238281 × 65536)
    floor (50940.5)     		ty = 50940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48630 / 50940 ti = "16/48630/50940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48630/50940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48630 ÷ 216
    48630 ÷ 65536     		x = 0.742034912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50940 ÷ 216
    50940 ÷ 65536     		y = 0.77728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742034912109375 × 2 - 1) × π
    0.48406982421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.52075020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.5545654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74221867979132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52075020} λ = 1.52075020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74221867979132))-π/2
    2×atan(0.175131408734966)-π/2
    2×0.173373167533914-π/2
    0.346746335067829-1.57079632675     		φ = -1.22404999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52075020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.132568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22404999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.132898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48630 KachelY 50940 1.52075020 -1.22404999 87.132568 -70.132898
    Oben rechts KachelX + 1 48631 KachelY 50940 1.52084608 -1.22404999 87.138062 -70.132898
    Unten links KachelX 48630 KachelY + 1 50941 1.52075020 -1.22408257 87.132568 -70.134765
    Unten rechts KachelX + 1 48631 KachelY + 1 50941 1.52084608 -1.22408257 87.138062 -70.134765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22404999--1.22408257) × R
    3.25800000000598e-05 × 6371000     		dl = 207.567180000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22404999--1.22408257) × R
    3.25800000000598e-05 × 6371000     		dr = 207.567180000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52075020-1.52084608) × cos(-1.22404999) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.33983959540437 × 6371000     		do = 207.591519815706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52075020-1.52084608) × cos(-1.22408257) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.33980895427443 × 6371000     		du = 207.572802636133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22404999)-sin(-1.22408257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33983959540437-0.33980895427443)×R²
    abs(1.52084608-1.52075020)×3.06411299399456e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.06411299399456e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.06411299399456e-05×40589641000000     		ar = 43087.2438281227m²