Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48630 / 50673
↖ ↑ ↗
← S 69.628422°
E 87.132568°		 ← 212.64 m → S 69.628422°
E 87.138062°		 →
↑
212.66 m
↓
↑
212.66 m
↓
S 69.630335°
E 87.132568°		 ← 212.62 m →
45 219 m²		 S 69.630335°
E 87.138062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742042541503906 y=0.773216247558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742042541503906 × 216)
    floor (0.742042541503906 × 65536)
    floor (48630.5)     		tx = 48630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773216247558594 × 216)
    floor (0.773216247558594 × 65536)
    floor (50673.5)     		ty = 50673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48630 / 50673 ti = "16/48630/50673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48630/50673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48630 ÷ 216
    48630 ÷ 65536     		x = 0.742034912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50673 ÷ 216
    50673 ÷ 65536     		y = 0.773208618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742034912109375 × 2 - 1) × π
    0.48406982421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.52075020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773208618164062 × 2 - 1) × π
    -0.546417236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71662037539421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52075020} λ = 1.52075020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71662037539421))-π/2
    2×atan(0.179672348058511)-π/2
    2×0.177775550930588-π/2
    0.355551101861177-1.57079632675     		φ = -1.21524522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52075020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.132568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21524522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.628422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48630 KachelY 50673 1.52075020 -1.21524522 87.132568 -69.628422
    Oben rechts KachelX + 1 48631 KachelY 50673 1.52084608 -1.21524522 87.138062 -69.628422
    Unten links KachelX 48630 KachelY + 1 50674 1.52075020 -1.21527860 87.132568 -69.630335
    Unten rechts KachelX + 1 48631 KachelY + 1 50674 1.52084608 -1.21527860 87.138062 -69.630335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21524522--1.21527860) × R
    3.33800000000828e-05 × 6371000     		dl = 212.663980000527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21524522--1.21527860) × R
    3.33800000000828e-05 × 6371000     		dr = 212.663980000527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52075020-1.52084608) × cos(-1.21524522) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.348107055775981 × 6371000     		do = 212.641710219553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52075020-1.52084608) × cos(-1.21527860) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.348075763341261 × 6371000     		du = 212.622595189492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21524522)-sin(-1.21527860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348107055775981-0.348075763341261)×R²
    abs(1.52084608-1.52075020)×3.12924347199428e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.12924347199428e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.12924347199428e-05×40589641000000     		ar = 45219.1998743341m²