Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4863 / 3575
↖ ↑ ↗
← N 22.309426°
E 33.706055°		 ← 4 520.73 m → N 22.309426°
E 33.750000°		 →
↑
4 521.43 m
↓
↑
4 521.43 m
↓
N 22.268764°
E 33.706055°		 ← 4 522.04 m →
20 443 143 m²		 N 22.268764°
E 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59368896484375 y=0.43646240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59368896484375 × 213)
    floor (0.59368896484375 × 8192)
    floor (4863.5)     		tx = 4863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43646240234375 × 213)
    floor (0.43646240234375 × 8192)
    floor (3575.5)     		ty = 3575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4863 / 3575 ti = "13/4863/3575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4863/3575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4863 ÷ 213
    4863 ÷ 8192     		x = 0.5936279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3575 ÷ 213
    3575 ÷ 8192     		y = 0.4364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5936279296875 × 2 - 1) × π
    0.187255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58828163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4364013671875 × 2 - 1) × π
    0.127197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.399601995232788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58828163} λ = 0.58828163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.399601995232788))-π/2
    2×atan(1.49123106244242)-π/2
    2×0.980084630971389-π/2
    1.96016926194278-1.57079632675     		φ = 0.38937294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58828163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38937294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.309426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4863 KachelY 3575 0.58828163 0.38937294 33.706055 22.309426
    Oben rechts KachelX + 1 4864 KachelY 3575 0.58904862 0.38937294 33.750000 22.309426
    Unten links KachelX 4863 KachelY + 1 3576 0.58828163 0.38866325 33.706055 22.268764
    Unten rechts KachelX + 1 4864 KachelY + 1 3576 0.58904862 0.38866325 33.750000 22.268764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38937294-0.38866325) × R
    0.000709689999999985 × 6371000     		dl = 4521.43498999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38937294-0.38866325) × R
    0.000709689999999985 × 6371000     		dr = 4521.43498999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58828163-0.58904862) × cos(0.38937294) × R
    0.000766990000000023 × 0.925147278950199 × 6371000     		do = 4520.72597085204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58828163-0.58904862) × cos(0.38866325) × R
    0.000766990000000023 × 0.925416450209737 × 6371000     		du = 4522.04127440563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38937294)-sin(0.38866325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925147278950199-0.925416450209737)×R²
    abs(0.58904862-0.58828163)×0.000269171259537737×R²
    0.000766990000000023×0.000269171259537737×6371000²
    0.000766990000000023×0.000269171259537737×40589641000000     		ar = 20443142.9725984m²