Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48629 / 50812
↖ ↑ ↗
← S 69.892565°
E 87.127075°		 ← 209.98 m → S 69.892565°
E 87.132568°		 →
↑
209.92 m
↓
↑
209.92 m
↓
S 69.894453°
E 87.127075°		 ← 209.96 m →
44 077 m²		 S 69.894453°
E 87.132568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742027282714844 y=0.775337219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742027282714844 × 216)
    floor (0.742027282714844 × 65536)
    floor (48629.5)     		tx = 48629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775337219238281 × 216)
    floor (0.775337219238281 × 65536)
    floor (50812.5)     		ty = 50812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48629 / 50812 ti = "16/48629/50812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48629/50812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48629 ÷ 216
    48629 ÷ 65536     		x = 0.742019653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50812 ÷ 216
    50812 ÷ 65536     		y = 0.77532958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742019653320312 × 2 - 1) × π
    0.484039306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.52065433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.5506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72994683348859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52065433} λ = 1.52065433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72994683348859))-π/2
    2×atan(0.177293835814051)-π/2
    2×0.175470470765904-π/2
    0.350940941531809-1.57079632675     		φ = -1.21985539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52065433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.127075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21985539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.892565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48629 KachelY 50812 1.52065433 -1.21985539 87.127075 -69.892565
    Oben rechts KachelX + 1 48630 KachelY 50812 1.52075020 -1.21985539 87.132568 -69.892565
    Unten links KachelX 48629 KachelY + 1 50813 1.52065433 -1.21988834 87.127075 -69.894453
    Unten rechts KachelX + 1 48630 KachelY + 1 50813 1.52075020 -1.21988834 87.132568 -69.894453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21985539--1.21988834) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dl = 209.924450000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21985539--1.21988834) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dr = 209.924450000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52065433-1.52075020) × cos(-1.21985539) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343781545880322 × 6371000     		do = 209.97756377539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52065433-1.52075020) × cos(-1.21988834) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343750604007676 × 6371000     		du = 209.958664857997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21985539)-sin(-1.21988834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343781545880322-0.343750604007676)×R²
    abs(1.52075020-1.52065433)×3.09418726464061e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09418726464061e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09418726464061e-05×40589641000000     		ar = 44077.4409195105m²