Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48629 / 50733
↖ ↑ ↗
← S 69.742846°
E 87.127075°		 ← 211.48 m → S 69.742846°
E 87.132568°		 →
↑
211.52 m
↓
↑
211.52 m
↓
S 69.744748°
E 87.127075°		 ← 211.46 m →
44 729 m²		 S 69.744748°
E 87.132568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742027282714844 y=0.774131774902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742027282714844 × 216)
    floor (0.742027282714844 × 65536)
    floor (48629.5)     		tx = 48629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774131774902344 × 216)
    floor (0.774131774902344 × 65536)
    floor (50733.5)     		ty = 50733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48629 / 50733 ti = "16/48629/50733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48629/50733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48629 ÷ 216
    48629 ÷ 65536     		x = 0.742019653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50733 ÷ 216
    50733 ÷ 65536     		y = 0.774124145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742019653320312 × 2 - 1) × π
    0.484039306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.52065433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774124145507812 × 2 - 1) × π
    -0.548248291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72237280334862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52065433} λ = 1.52065433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72237280334862))-π/2
    2×atan(0.178641762846371)-π/2
    2×0.176777016020979-π/2
    0.353554032041957-1.57079632675     		φ = -1.21724229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52065433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.127075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21724229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.742846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48629 KachelY 50733 1.52065433 -1.21724229 87.127075 -69.742846
    Oben rechts KachelX + 1 48630 KachelY 50733 1.52075020 -1.21724229 87.132568 -69.742846
    Unten links KachelX 48629 KachelY + 1 50734 1.52065433 -1.21727549 87.127075 -69.744748
    Unten rechts KachelX + 1 48630 KachelY + 1 50734 1.52075020 -1.21727549 87.132568 -69.744748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21724229--1.21727549) × R
    3.32000000000665e-05 × 6371000     		dl = 211.517200000424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21724229--1.21727549) × R
    3.32000000000665e-05 × 6371000     		dr = 211.517200000424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52065433-1.52075020) × cos(-1.21724229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34623420001344 × 6371000     		do = 211.475614923938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52065433-1.52075020) × cos(-1.21727549) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346203053305334 × 6371000     		du = 211.456590895551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21724229)-sin(-1.21727549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34623420001344-0.346203053305334)×R²
    abs(1.52075020-1.52065433)×3.11467081061667e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11467081061667e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11467081061667e-05×40589641000000     		ar = 44728.7179867044m²